자연계열 I 3번

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac1{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}\overrightarrow{\mathrm{OP}}$로 정의된 Q는 원점과 점 P를 이은 직선이 단위원 $\displaystyle x^2+y^2=1$과 만나는 점이 된다. 따라서 원점에서 원 $\displaystyle (x-3)^2+(y-4)^2=9$에 그은 두 접선의 방정식을 구하면 된다. 하나는 $\displaystyle y$축이고 나머지 하나를 구하기 위해서 $\displaystyle y=kx$로 놓고 $\displaystyle (x-3)^2+(y-4)^2=9$에 대입하면 $\displaystyle (k^2+1)x^2-(6+8k)x+16=0$이고 중근을 가지기 위해서는 $\displaystyle k=\frac7{24}$이다. $\displaystyle 7^2+24^2=25^2$이므로 직선 $\displaystyle y=\frac7{24}x$와 단위원이 $\displaystyle \left(\frac{24}{25},\frac7{25}\right)$에서 만나고 이때 $\displaystyle s-r$는 최솟값 $\displaystyle -\frac{17}{25}$을 갖는다.

$\displaystyle y=e^x$ 위의 점 $\displaystyle (s,e^s)$의 접선과 수직을 이루며 $\displaystyle (s,e^s)$을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y-e^s=-e^{-s}(x-s)$이고 이것이 $\displaystyle (t,0)$을 지나므로 대입하면 $\displaystyle t=s+e^{2s}$인 관계를 얻는다. 점 $\displaystyle (t,0)$와 곡선 $\displaystyle y=e^x$의 거리의 제곱은 $\displaystyle L^2(t)=(t-s)^2+(e^s)^2=e^{4s}+e^{2s}$이다. $\displaystyle \frac{dt}{ds}=1+2e^{2s}$을 이용하고 함수 $\displaystyle t=s+e^{2s}$가 일대일 대응임을 고려하면$\displaystyle \int_1^{1+e^2}L^2(t)\,dt=\int_1^{1+e^2}(e^{4s}+e^{2s})\,dt=\int_0^1\{(e^{4s}+e^{2s})(1+2e^{2s})\}\,ds$이 되고, 계산하면$\displaystyle \int_0^1\{(e^{4s}+e^{2s})(1+2e^{2s})\}\,ds=\frac13e^6+\frac34e^4+\frac12e^2-\frac{19}{12}$이다.