자연계열 II 3-1번

중앙대 2017학년도 수시 자연계열 II 3-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2017su/jayeon2_3_1

[문제 3] 다음 제시문 (가)~(라)를 읽고 문제에 답하시오.

(가) 두 함수 $\displaystyle f:X\to Y$ , $\displaystyle g:Y\to Z$ 의 합성함수 $\displaystyle g\circ f$ 는 $\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))$ 로 정의한다.

(나) 함수 $\displaystyle f:X\to Y$ 가 일대일 대응일 때 역함수 $\displaystyle f^{-1}:Y\to X$ 가 존재하고 다음과 같이 정의된다.

$\displaystyle y=f(x)\iff x=f^{-1}(y)$

(다) 미분가능한 두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$\displaystyle \int f(x)g^{\prime}(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime}(x)g(x)\,dx$

(라) 미분가능한 함수 $\displaystyle g(t)$ 에 대하여 $\displaystyle x=g(t)$ 로 놓으면 다음이 성립한다.

$\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt$

[문제 3-1] 두 함수 $\displaystyle f(x)=e^x$ , $\displaystyle g(x)=x+x^3+x^5+x^7+x^9$ 의 합성함수 $\displaystyle h(x)=(f\circ g)(x)$ 가 있다. $\displaystyle x>0$ 에서 정의된 곡선 $\displaystyle y=h^{-1}(x)$ 위의 점 $\displaystyle (e^5,h^{-1}(e^5))$ 에서의 접선의 방정식을 구하시오. [10점]

해설강의 준비중

중앙대 2017학년도 수시 자연계열 II 3-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2017su/jayeon2_3_1

문제 3-1 예시 답안

+3점 · [3-1]

\displaystyle (e^5,h^{-1}(e^5))

의 직선

\displaystyle y=x

의 대칭점은

\displaystyle (1,e^5)

임을 알면

● 합성함수는 $\displaystyle h(x)=e^{x+x^3+x^5+x^7+x^9}$ 이고 역함수의 정의와 $\displaystyle h(1)=e^5$ 을 고려하면 $\displaystyle h^{-1}(e^5)=1$ 이고 점 $\displaystyle (e^5,h^{-1}(e^5))$ 의 직선 $\displaystyle y=x$ 의 대칭점은 $\displaystyle (1,e^5)$ 이다.

+3점 · [3-1]

\displaystyle h^{\prime}(1)=25e^5

을 계산하면 +2점 · [3-1]

\displaystyle h^{-1}

의

\displaystyle x=e^5

에서의 접선의 기울기가

\displaystyle \frac1{25e^5}

이면 +2점 · [3-1] 최종적으로

\displaystyle y=\frac1{25e^5}x+\frac{24}{25}

를 구하면

● $\displaystyle h^{\prime}(x)=(1+3x^2+5x^4+7x^6+9x^8)e^{x+x^3+x^5+x^7+x^9}$ 이므로 $\displaystyle h^{\prime}(1)=25e^5$ 이다. 곡선 $\displaystyle y=h^{-1}(x)$ 의 $\displaystyle x=e^5$ 에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle h^{\prime}(1)$ 의 역수이므로 접선의 방정식은 $\displaystyle y-1=\frac1{25e^5}(x-e^5)$ 이고 정리하면 $\displaystyle y=\frac1{25e^5}x+\frac{24}{25}$ 이다.

※ 각 단계에서 답이 틀려도 논리성을 고려하여 부분 점수 2~3점 부여 가능

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