자연계열 II 3번

● 합성함수는 $\displaystyle h(x)=e^{x+x^3+x^5+x^7+x^9}$이고 역함수의 정의와 $\displaystyle h(1)=e^5$을 고려하면 $\displaystyle h^{-1}(e^5)=1$이고 점 $\displaystyle (e^5,h^{-1}(e^5))$의 직선 $\displaystyle y=x$의 대칭점은 $\displaystyle (1,e^5)$이다.

● $\displaystyle h^{\prime}(x)=(1+3x^2+5x^4+7x^6+9x^8)e^{x+x^3+x^5+x^7+x^9}$이므로 $\displaystyle h^{\prime}(1)=25e^5$이다. 곡선 $\displaystyle y=h^{-1}(x)$의 $\displaystyle x=e^5$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle h^{\prime}(1)$의 역수이므로 접선의 방정식은 $\displaystyle y-1=\frac1{25e^5}(x-e^5)$이고 정리하면 $\displaystyle y=\frac1{25e^5}x+\frac{24}{25}$이다.

● 역함수의 정의를 고려하면 $\displaystyle \int_0^{2+\alpha}F^{-1}(x)\,dx=2+\alpha-\int_0^1F(x)\,dx$이다. 여기서 부분적분을 사용하면$\displaystyle \int_0^1F(x)\,dx=\Biggl[xF(x)\Biggr]_0^1-\int_0^1xF^{\prime}(x)\,dx=2+\alpha-\int_0^1\left\{2x+x\cos\left(\frac\pi2x^2\right)\right\}\,dx$이다.

● 또한 치환적분을 사용하면 $\displaystyle \int_0^1\left\{2x+x\cos\left(\frac\pi2x^2\right)\right\}\,dx=1+\frac1\pi$이다.