자연계열 II 2번

중앙대 2017학년도 수시 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/cau/2017su/jayeon2_2

[문제 2] 다음 제시문 (가)와 (나)를 읽고 문제에 답하시오.

(가) 좌표공간에서 두 점 P $\displaystyle _1(x_1,y_1,z_1)$ , P $\displaystyle _2(x_2,y_2,z_2)$ 사이의 거리 $\displaystyle \overline{\mathrm P_1\mathrm P_2}$ 는 다음과 같다.

$\displaystyle \overline{\mathrm P_1\mathrm P_2}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$

(나) 좌표공간에서 두 점 P $\displaystyle _1(x_1,y_1,z_1)$ , P $\displaystyle _2(x_2,y_2,z_2)$ 에 대하여 선분 P $\displaystyle _1$ P $\displaystyle _2$ 의 중점의 좌표는 다음과 같다.

$\displaystyle \left(\frac{x_1+x_2}2,\frac{y_1+y_2}2,\frac{z_1+z_2}2\right)$

[문제 2-1] 좌표공간의 두 점 A $\displaystyle (2,4,6)$ , B $\displaystyle (-9,1,2)$ 와 평면 $\displaystyle 3x-4y+2z+56=0$ 위의 점 P에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{PB}}$ 의 최솟값을 구하는 과정을 논리적으로 설명하시오. [10점]

[문제 2-2] 좌표공간의 세 점 C $\displaystyle (5,-2,1)$ , D $\displaystyle (1,4,3)$ , E $\displaystyle (-1,6,3)$ 으로부터 같은 거리만큼 떨어진 점 중에서 점 $\displaystyle (2,-3,-13)$ 과 가장 가까운 점을 구하는 과정을 논리적으로 설명하시오. [15점]

해설강의 준비중

중앙대 2017학년도 수시 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/cau/2017su/jayeon2_2

문제 2-1 예시 답안

+3점 · [2-1] 두 점 A, B가 평면

\displaystyle 3x-4y+2z+56=0

의 같은 쪽에 있음을 보이면

평면 $\displaystyle 3x-4y+2z+56=0$ 을 $\displaystyle \pi$ 라 하고 $\displaystyle f(x,y,z)=3x-4y+2z+56$ 이라 하면, $\displaystyle f(2,4,6)>0$ 이고 $\displaystyle f(-9,1,2)>0$ 이므로 두 점 A, B는 평면 $\displaystyle \pi$ 의 같은 쪽에 있다. 따라서 평면 $\displaystyle \pi$ 에 대한 점 A의 대칭점을 A $\displaystyle ^{\prime}(a,b,c)$ 라 할 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{PB}}$ 의 최솟값은 $\displaystyle \overline{\mathrm A^{\prime}\mathrm B}$ 와 같다.

+4점 · [2-1] 평면

\displaystyle 3x-4y+2z+56=0

에 대한 점 A의 대칭점

\displaystyle (-10,20,-2)

을 찾으면 (B의 대칭점

\displaystyle (-15,9,-2)

을 찾아도 +4점)

벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AA}^{\prime}}=(a-2,b-4,c-6)$ 은 평면 $\displaystyle \pi$ 의 법선벡터의 상수배이므로 $\displaystyle a=3k+2,b=-4k+4,c=2k+6$ 을 만족하는 상수 $\displaystyle k$ 가 있다. 두 점 A, A $\displaystyle ^{\prime}$ 의 중점 $\displaystyle \left(\frac{a+2}2,\frac{b+4}2,\frac{c+6}2\right)=\left(\frac{3k+4}2,\frac{-4k+8}2,\frac{2k+12}2\right)$ 가 평면 $\displaystyle \pi$ 위의 점이므로 A $\displaystyle ^{\prime}(-10,20,-2)$ 이다.

+3점 · [2-1]

\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{PB}}

의 최솟값

\displaystyle \sqrt{378}=3\sqrt{42}

를 구하면

따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{PB}}$ 의 최솟값은 $\displaystyle \overline{\mathrm A^{\prime}\mathrm B}=\sqrt{378}=3\sqrt{42}$ 이다.

문제 2-2 예시 답안

+10점 · [2-2] 세 개의 평면

\displaystyle 2x-3y-z-1=0

;

\displaystyle 3x-4y-z+4=0

;

\displaystyle x-y+5=0

중에서 두 개의 평면을 찾으면 (각 평면 당 +5점씩 최대 +10점을 부여함)

● 두 점 C, D의 중점은 점 M $\displaystyle (3,1,2)$ 이고 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MC}}=(2,-3,-1)$ 이므로, 두 점 C, D로부터 같은 거리만큼 떨어진 점의 자취는 평면 $\displaystyle 2(x-3)-3(y-1)-(z-2)=0$ 즉, $\displaystyle 2x-3y-z-1=0$ 이다. 비슷한 방법으로 두 점 C, E로부터 같은 거리만큼 떨어진 점의 자취는 평면 $\displaystyle 3x-4y-z+4=0$ 임을 알 수 있다.

+5점 · [2-2] 점

\displaystyle (-3,2,-13)

을 찾으면

● $\displaystyle 2x-3y-z-1=0$ 와 $\displaystyle 3x-4y-z+4=0$ 에서 $\displaystyle z$ 를 소거하여 $\displaystyle y=x+5$ 임을 안다. $\displaystyle y$ 에 $\displaystyle x+5$ 을 대입하여 $\displaystyle 2x-3y-z-1=0$ 으로부터 $\displaystyle z=-x-16$ 을 얻는다. 따라서 평면 $\displaystyle 2x-3y-z-1=0$ 와 평면 $\displaystyle 3x-4y-z+4=0$ 의 교선은 직선 $\displaystyle x=t,y=t+5,z=-t-16$ 이다. 점 $\displaystyle (t,t+5,-t-16)$ 과 점 $\displaystyle (2,-3,-13)$ 사이의 거리의 제곱은 $\displaystyle (t-2)^2+(t+8)^2+(-t-3)^2=3(t+3)^2+50$ 이므로 $\displaystyle t=-3$ 일 때 최솟값을 가진다. 따라서 구하는 점은 점 $\displaystyle (-3,2,-13)$ 이다.

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