자연계열 I 2-1번

중앙대 2018학년도 모의 자연계열 I 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2018mo/jayeon1_2_1

[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 좌표평면 위의 점 P $\displaystyle (x,y)$ 를 한 점 또는 한 직선에 대하여 대칭인 점 P′ $\displaystyle (x^{\prime},y^{\prime})$ 로 옮기는 것을 대칭이동이라고 한다. 점 P $\displaystyle (x,y)$ 의 $\displaystyle x$ 축에 대한 대칭이동은 $\displaystyle (x,y)\to(x,-y)$ , $\displaystyle y$ 축에 대한 대칭이동은 $\displaystyle (x,y)\to(-x,y)$ , 원점에 대한 대칭이동은 $\displaystyle (x,y)\to(-x,-y)$ 와 같이 나타낸다. 일반적으로 점 P $\displaystyle (x,y)$ 를 직선 $\displaystyle ax+by+c=0$ 에 대하여 대칭이동한 점 P′ $\displaystyle (x^{\prime},y^{\prime})$ 가 있을 때, 직선 PP′는 직선 $\displaystyle ax+by+c=0$ 과 수직으로 만나고 그 만나는 점은 선분 PP′의 중점이다.

● 두 벡터 $\displaystyle \vec a$ , $\displaystyle \vec b$ 가 이루는 각의 크기가 $\displaystyle \theta\;(0\le\theta\le\pi)$ 일 때 내적은 다음과 같이 정의한다.

$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$

[문제 2-1] 한 변의 길이가 1인 정사각형 종이 ABCD가 있다. 꼭짓점 D가 변 BC의 중점 D′와 일치하도록 접었을 때 선분 AF와 선분 BE의 길이를 논리적으로 구하시오. [10점]

해설강의 준비중

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문제 2-1

+3점 · [2-1] 직선 FG의 식을 바르게 구하면

● 직선 FG를 $\displaystyle y=ax+b$ 라 할 때, 점 D′ $\displaystyle (1/2,0)$ 는 이 직선에 대해 점 D $\displaystyle (1,1)$ 의 대칭점이다. 즉 직선 FG의 기울기 $\displaystyle a$ 와 선분 DD′의 기울기는 수직이고, 선분 DD′의 중점은 직선 FG 위에 있다. $\displaystyle -\frac1a=\frac1{1-\frac12}=2,\quad\text{즉 }a=-\frac12$ 이고, $\displaystyle \frac12=a\times\frac{1+\frac12}2+b,\quad\text{즉 }b=\frac78$ 이다.

+2점 · [2-1] 선분 AF의 길이를 바르게 구하면

● 따라서, 선분 AF의 길이는 $\displaystyle 1-7/8=1/8$ 이다.

+3점 · [2-1] 점 A의 직선 FG에 대한 대칭점 A′를 바르게 구하면

● 점 A $\displaystyle (0,1)$ 의 직선 FG에 대한 대칭점을 A′ $\displaystyle (c,d)$ 라 하면 $\displaystyle -\frac1a=2=\frac{1-d}{0-c},\quad d=2c+1$ $\displaystyle \frac{d+1}2=a\times\frac c2+b=-\frac12\times\frac c2+\frac78,\quad\text{즉 }c=-\frac1{10},\ d=\frac45$ 이다.

+2점 · [2-1] 선분 AE의 길이를 바르게 구하면

● 직선 D′E의 방정식을 점 A′ $\displaystyle (-1/10,4/5)$ 와 D′ $\displaystyle (1/2,0)$ 의 좌표를 이용하여 구하면 $\displaystyle y=\frac{-\frac45}{\frac12+\frac1{10}}\left(x-\frac12\right)=-\frac43x+\frac23,$ 즉 $\displaystyle y$ 축과의 교점이 $\displaystyle (0,2/3)$ 이다.

● 따라서, 선분 BE의 길이는 $\displaystyle 2/3$ 이다.

※ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~2점의 부분 점수를 부여함

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