자연계열 I 2번

● 직선 FG를 $\displaystyle y=ax+b$라 할 때, 점 D′$\displaystyle (1/2,0)$는 이 직선에 대해 점 D$\displaystyle (1,1)$의 대칭점이다. 즉 직선 FG의 기울기 $\displaystyle a$와 선분 DD′의 기울기는 수직이고, 선분 DD′의 중점은 직선 FG 위에 있다.$\displaystyle -\frac1a=\frac1{1-\frac12}=2,\quad\text{즉 }a=-\frac12$이고,$\displaystyle \frac12=a\times\frac{1+\frac12}2+b,\quad\text{즉 }b=\frac78$이다.

● 따라서, 선분 AF의 길이는 $\displaystyle 1-7/8=1/8$이다.

● 점 A$\displaystyle (0,1)$의 직선 FG에 대한 대칭점을 A′$\displaystyle (c,d)$라 하면$\displaystyle -\frac1a=2=\frac{1-d}{0-c},\quad d=2c+1$$\displaystyle \frac{d+1}2=a\times\frac c2+b=-\frac12\times\frac c2+\frac78,\quad\text{즉 }c=-\frac1{10},\ d=\frac45$이다.

● 직선 D′E의 방정식을 점 A′$\displaystyle (-1/10,4/5)$와 D′$\displaystyle (1/2,0)$의 좌표를 이용하여 구하면$\displaystyle y=\frac{-\frac45}{\frac12+\frac1{10}}\left(x-\frac12\right)=-\frac43x+\frac23,$ 즉 $\displaystyle y$축과의 교점이 $\displaystyle (0,2/3)$이다.

● 직선 AG를 $\displaystyle y=ax+1$이라 할 때, 점 B′$\displaystyle (b,1/2)$는 이 직선에 대한 점 B$\displaystyle (0,0)$의 대칭점이다.$\displaystyle -\frac1a=\frac{\frac12}b,\quad b=-\frac12a$$\displaystyle \frac14=a\times\frac b2+1$

● 두 식을 연립하여 $\displaystyle a=-\sqrt3$, $\displaystyle b=\sqrt3/2$를 얻을 수 있다. 즉, B′의 좌표는 $\displaystyle (\sqrt3/2,1/2)$이다.

● 직선 AG에 대해 E′$\displaystyle (c,d)$는 E$\displaystyle (0,1/2)$와 대칭이다.$\displaystyle -\frac1a=\frac1{\sqrt3}=\frac{d-\frac12}c,\quad c=d\sqrt3-\frac{\sqrt3}2$$\displaystyle \frac{\frac12+d}2=-\sqrt3\frac c2+1$● 두 식을 연립하여 $\displaystyle c=\sqrt3/4$, $\displaystyle d=3/4$를 얻을 수 있다. 즉, E′의 좌표는 $\displaystyle (\sqrt3/4,3/4)$이다.

● 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BE}^{\prime}}=\left(\frac{\sqrt3}4,\frac34\right)$과 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}=\left(\frac{\sqrt3}2,\frac12\right)$이 이루는 각을 구하면$\displaystyle \cos(\angle\mathrm{E}^{\prime}\mathrm{BB}^{\prime})=\frac{\overrightarrow{\mathrm{BE}^{\prime}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}}{|\overrightarrow{\mathrm{BE}^{\prime}}||\overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}|}=\frac{\sqrt3}2$● 따라서 $\displaystyle \angle\mathrm{E}^{\prime}\mathrm{BB}^{\prime}=\frac\pi6=30\degree$이다.