자연계열 I 2-2번

중앙대 2018학년도 모의 자연계열 I 2-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2018mo/jayeon1_2_2

[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 좌표평면 위의 점 P $\displaystyle (x,y)$ 를 한 점 또는 한 직선에 대하여 대칭인 점 P′ $\displaystyle (x^{\prime},y^{\prime})$ 로 옮기는 것을 대칭이동이라고 한다. 점 P $\displaystyle (x,y)$ 의 $\displaystyle x$ 축에 대한 대칭이동은 $\displaystyle (x,y)\to(x,-y)$ , $\displaystyle y$ 축에 대한 대칭이동은 $\displaystyle (x,y)\to(-x,y)$ , 원점에 대한 대칭이동은 $\displaystyle (x,y)\to(-x,-y)$ 와 같이 나타낸다. 일반적으로 점 P $\displaystyle (x,y)$ 를 직선 $\displaystyle ax+by+c=0$ 에 대하여 대칭이동한 점 P′ $\displaystyle (x^{\prime},y^{\prime})$ 가 있을 때, 직선 PP′는 직선 $\displaystyle ax+by+c=0$ 과 수직으로 만나고 그 만나는 점은 선분 PP′의 중점이다.

● 두 벡터 $\displaystyle \vec a$ , $\displaystyle \vec b$ 가 이루는 각의 크기가 $\displaystyle \theta\;(0\le\theta\le\pi)$ 일 때 내적은 다음과 같이 정의한다.

$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$

[문제 2-2] 한 변의 길이가 1인 정사각형 종이 ABCD가 있다. 이 종이를 반으로 접었다 펴서 변 AB의 중점 E와 변 CD의 중점 F를 연결한 선분 EF가 생기도록 자국을 내었다. 꼭짓점 B가 선분 EF 위에 놓이도록 아래 그림과 같이 접어 점 E′와 B′를 표시하고 다시 폈다. 즉 삼각형 ABG와 삼각형 AB′G는 합동이고, E와 E′, B와 B′는 선분 AG에 대해 대칭이다. 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BE}^{\prime}}$ 와 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}$ 가 이루는 각 E′BB′를 구하는 과정을 점의 대칭이동을 이용하여 논리적으로 제시하시오. [15점]

해설강의 준비중

중앙대 2018학년도 모의 자연계열 I 2-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2018mo/jayeon1_2_2

문제 2-2

+4점 · [2-2] 직선 AG의 식을 바르게 구하면

● 직선 AG를 $\displaystyle y=ax+1$ 이라 할 때, 점 B′ $\displaystyle (b,1/2)$ 는 이 직선에 대한 점 B $\displaystyle (0,0)$ 의 대칭점이다. $\displaystyle -\frac1a=\frac{\frac12}b,\quad b=-\frac12a$ $\displaystyle \frac14=a\times\frac b2+1$

+4점 · [2-2] 점 B′의 좌표를 바르게 구하면

● 두 식을 연립하여 $\displaystyle a=-\sqrt3$ , $\displaystyle b=\sqrt3/2$ 를 얻을 수 있다. 즉, B′의 좌표는 $\displaystyle (\sqrt3/2,1/2)$ 이다.

+4점 · [2-2] 점 E′의 좌표를 바르게 구하면

● 직선 AG에 대해 E′ $\displaystyle (c,d)$ 는 E $\displaystyle (0,1/2)$ 와 대칭이다. $\displaystyle -\frac1a=\frac1{\sqrt3}=\frac{d-\frac12}c,\quad c=d\sqrt3-\frac{\sqrt3}2$ $\displaystyle \frac{\frac12+d}2=-\sqrt3\frac c2+1$ ● 두 식을 연립하여 $\displaystyle c=\sqrt3/4$ , $\displaystyle d=3/4$ 를 얻을 수 있다. 즉, E′의 좌표는 $\displaystyle (\sqrt3/4,3/4)$ 이다.

+3점 · [2-2] 각 E′BB′를 바르게 구하면

● 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BE}^{\prime}}=\left(\frac{\sqrt3}4,\frac34\right)$ 과 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}=\left(\frac{\sqrt3}2,\frac12\right)$ 이 이루는 각을 구하면 $\displaystyle \cos(\angle\mathrm{E}^{\prime}\mathrm{BB}^{\prime})=\frac{\overrightarrow{\mathrm{BE}^{\prime}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}}{|\overrightarrow{\mathrm{BE}^{\prime}}||\overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}|}=\frac{\sqrt3}2$ ● 따라서 $\displaystyle \angle\mathrm{E}^{\prime}\mathrm{BB}^{\prime}=\frac\pi6=30\degree$ 이다.

※ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~2점의 부분 점수를 부여함

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