자연계열 I 3-1번

중앙대 2018학년도 모의 자연계열 I 3-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2018mo/jayeon1_3_1

[문제 3] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 위의 한 점 P $\displaystyle (x_1,y_1)$ 에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1$ 이다.

● 함수 $\displaystyle f(x)$ 에서 $\displaystyle x=a$ 를 포함하는 어떤 열린 구간에 속하는 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(a)\le f(x)$ 일 때, 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극소라 하고, $\displaystyle f(a)$ 를 극솟값이라고 한다.

[문제 3-1] 타원 $\displaystyle n^2x^2+(n+1)^2y^2=1$ 위의 두 점 P $\displaystyle _n\left(\frac1{2n},\frac{\sqrt3}{2(n+1)}\right)$ , Q $\displaystyle _n\left(-\frac1{2n},\frac{\sqrt3}{2(n+1)}\right)$ 에서의 두 접선의 교점을 R $\displaystyle _n$ 이라 하자. 삼각형 P $\displaystyle _n$ Q $\displaystyle _n$ R $\displaystyle _n$ 의 넓이를 $\displaystyle b_n$ 이라 할 때 $\displaystyle \sum_{n=1}^{10}b_n$ 의 값을 구하시오. [10점]

해설강의 준비중

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문제 3-1

● P $\displaystyle _n$ 과 Q $\displaystyle _n$ 은 $\displaystyle y$ 축에 대칭이므로 P $\displaystyle _n$ 에서의 접선과 $\displaystyle y$ 축과의 교점이 R $\displaystyle _n$ 이 된다.

+3점 · [3-1] 접선의 방정식을 구하고 R

\displaystyle _n

을 구하면

● 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac n2x+\frac{\sqrt3}2(n+1)y=1$ 이다.

+4점 · [3-1]

\displaystyle b_n

을 구하면 +3점 · [3-1] 수열의 합을 구하면

● 따라서 $\displaystyle b_n=\frac1{2n}\times\left(\frac2{\sqrt3(n+1)}-\frac{\sqrt3}{2(n+1)}\right)=\frac1{4\sqrt3}\frac1{n(n+1)}=\frac1{4\sqrt3}\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)$ 이고구하는 답은 $\displaystyle \sum_{n=1}^{10}b_n=\frac1{4\sqrt3}\left(1-\frac1{11}\right)=\frac5{22\sqrt3}$ 이다.

※ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~2점의 부분 점수를 부여함

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