자연계열 I 3-2번

중앙대 2018학년도 모의 자연계열 I 3-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2018mo/jayeon1_3_2

[문제 3] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 위의 한 점 P $\displaystyle (x_1,y_1)$ 에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1$ 이다.

● 함수 $\displaystyle f(x)$ 에서 $\displaystyle x=a$ 를 포함하는 어떤 열린 구간에 속하는 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(a)\le f(x)$ 일 때, 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극소라 하고, $\displaystyle f(a)$ 를 극솟값이라고 한다.

[문제 3-2] $\displaystyle \int_0^t(3^nx^3-3^nx^2+9n)\,dx=0$ 을 만족시키는 0보다 큰 상수 $\displaystyle t$ 가 존재하도록 하는 자연수 $\displaystyle n$ 의 최솟값을 구하시오. [15점]

해설강의 준비중

중앙대 2018학년도 모의 자연계열 I 3-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2018mo/jayeon1_3_2

문제 3-2

+3점 · [3-2]

\displaystyle \frac{3^n}4t^4-3^{n-1}t^3+9nt=0

을 유도하면

● $\displaystyle \int_0^t(3^nx^3-3^nx^2+9n)\,dx=\frac{3^n}4t^4-3^{n-1}t^3+9nt=0$ 을 만족하는 $\displaystyle t>0$ 이 있으면 된다.

+3점 · [3-2]

\displaystyle g(t)=\frac{3^n}4t^3-3^{n-1}t^2+9n

을 유도하면

● $\displaystyle t>0$ 이므로 $\displaystyle g(t)=\frac{3^n}4t^3-3^{n-1}t^2+9n$ 로 놓으면 $\displaystyle g(t)$ 가 0보다 큰 근을 가지면 된다.

+6점 · [3-2]

\displaystyle g\left(\frac89\right)\le0

이

\displaystyle g(t)

가 0보다 큰 근을 가지게 됨을 보이면

● $\displaystyle g^{\prime}(t)=\frac{3^{n+1}}4t^2-2\cdot3^{n-1}t$ 이므로 $\displaystyle t=0$ , $\displaystyle \frac89$ 에서 극대, 극소를 가지고● $\displaystyle g\left(\frac89\right)=2^7\cdot3^{n-6}-2^6\cdot3^{n-5}+9n\le0$ 이면 0보다 큰 근을 가지게 된다.

+3점 · [3-2]

\displaystyle 2^7\cdot3^{n-6}-2^6\cdot3^{n-5}+9n\le0

을 계산하여

\displaystyle n=6

임을 보이면

● 정리하면 $\displaystyle n\le2^6\cdot3^{n-8}$ 이고 주어진 부등식을 만족시키는 최소의 자연수는 $\displaystyle n=6$ 이다.

※ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~2점의 부분 점수를 부여함

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