자연계열 I 3번

● 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac n2x+\frac{\sqrt3}2(n+1)y=1$이다.

● 따라서 $\displaystyle b_n=\frac1{2n}\times\left(\frac2{\sqrt3(n+1)}-\frac{\sqrt3}{2(n+1)}\right)=\frac1{4\sqrt3}\frac1{n(n+1)}=\frac1{4\sqrt3}\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)$이고구하는 답은 $\displaystyle \sum_{n=1}^{10}b_n=\frac1{4\sqrt3}\left(1-\frac1{11}\right)=\frac5{22\sqrt3}$이다.

● $\displaystyle \int_0^t(3^nx^3-3^nx^2+9n)\,dx=\frac{3^n}4t^4-3^{n-1}t^3+9nt=0$을 만족하는 $\displaystyle t>0$이 있으면 된다.

● $\displaystyle t>0$이므로 $\displaystyle g(t)=\frac{3^n}4t^3-3^{n-1}t^2+9n$로 놓으면 $\displaystyle g(t)$가 0보다 큰 근을 가지면 된다.

● $\displaystyle g^{\prime}(t)=\frac{3^{n+1}}4t^2-2\cdot3^{n-1}t$이므로 $\displaystyle t=0$, $\displaystyle \frac89$에서 극대, 극소를 가지고● $\displaystyle g\left(\frac89\right)=2^7\cdot3^{n-6}-2^6\cdot3^{n-5}+9n\le0$이면 0보다 큰 근을 가지게 된다.

● 정리하면 $\displaystyle n\le2^6\cdot3^{n-8}$이고 주어진 부등식을 만족시키는 최소의 자연수는 $\displaystyle n=6$이다.