자연계열 I 2-1번

중앙대 2018학년도 수시 자연계열 I 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2018su/jayeon1_2_1

(가) 좌표평면 위의 두 직선 $\displaystyle y=mx+n$ , $\displaystyle y=m^{\prime}x+n^{\prime}$ 이 서로 수직이면 $\displaystyle mm^{\prime}=-1$ 이다.

(나) 세 점 A, B, C를 잡을 때, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 이다.

(다) $\displaystyle x=f(t)$ , $\displaystyle y=g(t)$ 가 $\displaystyle t$ 에 대하여 미분가능하고 $\displaystyle f^{\prime}(t)\ne0$ 이면 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}$ 이다.

[문제 2-1] 좌표평면 위의 점 P $\displaystyle _n=(1,2^n)$ 에서 직선 $\displaystyle y=2^{n+1}x$ 에 내린 수선의 발을 Q $\displaystyle _n$ 이라 하자. 점 Q $\displaystyle _n$ 에서 직선 $\displaystyle y=2^nx$ 에 내린 수선의 발을 R $\displaystyle _n=(a_n,b_n)$ 이라 할 때, $\displaystyle \sum_{n=1}^5a_n=\frac13\left(\frac{74}5+K\right)$ 이다. $\displaystyle K$ 의 값을 구하시오. [10점]

해설강의 준비중

중앙대 2018학년도 수시 자연계열 I 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2018su/jayeon1_2_1

수학 문제 2-1 예시 답안

+3점 · [2-1] Q

\displaystyle _n=\left(\frac{2^{2n+1}+1}{2^{2n+2}+1},2^{n+1}\frac{2^{2n+1}+1}{2^{2n+2}+1}\right)

구하면

$\displaystyle (1,2^n)$ 을 지나고 기울기 $\displaystyle -\frac1{2^{n+1}}$ 인 직선과 $\displaystyle y=2^{n+1}x$ 의 교점을 구하면 $\displaystyle \mathrm Q_n=\left(\frac{2^{2n+1}+1}{2^{2n+2}+1},2^{n+1}\frac{2^{2n+1}+1}{2^{2n+2}+1}\right)$ 이다.

+3점 · [2-1]

\displaystyle a_n=\frac{2^{2n+1}+1}{2^{2n+2}+1}\cdot\frac{2^{2n+1}+1}{2^{2n}+1}

구하면 (

\displaystyle b_n

언급 안 해도 감점 없음)

다시 Q $\displaystyle _n$ 을 지나고 기울기가 $\displaystyle -\frac1{2^n}$ 인 직선과 $\displaystyle y=2^nx$ 교점의 $\displaystyle x$ 좌표를 구하면 $\displaystyle a_n=\frac{2^{2n+1}+1}{2^{2n+2}+1}\cdot\frac{2^{2n+1}+1}{2^{2n}+1}$ 이고 식을 정리하면 다음을 얻을 수 있다: $\displaystyle a_n=\frac{2^{2n+1}+1}{2^{2n+2}+1}\cdot\frac{2^{2n+1}+1}{2^{2n}+1}=\frac{4\cdot4^{2n}+4\cdot4^n+1}{4\cdot4^{2n}+5\cdot4^n+1}=1-\frac{4^n}{4\cdot4^{2n}+5\cdot4^n+1}=1-\frac13\left(\frac1{4^n+1}-\frac1{4^{n+1}+1}\right)$

+4점 · [2-1]

\displaystyle K=\frac1{4^6+1}=\frac1{4097}

구하면

따라서 $\displaystyle \sum_{n=1}^5a_n=5-\frac13\left(\frac15-\frac1{4^6+1}\right)=\frac13\left(\frac{74}5+\frac1{4^6+1}\right)$ 이고, $\displaystyle K=\frac1{4^6+1}=\frac1{4097}$ 이다.

※ 각 단계에서 답이 틀려도 논리성을 고려하여 부분 점수 2~3점 부여 가능

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