자연계열 I 2-2번

좌표평면의 원점을 O라 하자. $\displaystyle y=\frac12x^2+1$ 위의 동점을 P라 하고 P에서 길이 1인 법선벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$를 구하면 원의 중심의 자취는 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$이다. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\left(t,\frac12t^2+1\right)$이고$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac1{\sqrt{t^2+1}}(t,-1)$이므로 원의 중심의 자취 Q$\displaystyle (x,y)$는 매개변수로 다음과 같이 나타내어진다.$\displaystyle (x,y)=\left(t+\frac t{\sqrt{t^2+1}},\frac12t^2+1-\frac1{\sqrt{t^2+1}}\right)$

매개함수 미분을 하면 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{t\left(1+\frac1{(t^2+1)^{3/2}}\right)}{1+\frac1{(t^2+1)^{3/2}}}=t$이다.

기울기가 1이면 $\displaystyle t=1$이므로 접점은 $\displaystyle \left(1+\frac1{\sqrt2},\frac32-\frac1{\sqrt2}\right)$이다. 따라서 구하는 직선의 방정식은$\displaystyle y=x+\frac12-\sqrt2$이다.