자연계열 I 2번

$\displaystyle (1,2^n)$을 지나고 기울기 $\displaystyle -\frac1{2^{n+1}}$인 직선과 $\displaystyle y=2^{n+1}x$의 교점을 구하면$\displaystyle \mathrm Q_n=\left(\frac{2^{2n+1}+1}{2^{2n+2}+1},2^{n+1}\frac{2^{2n+1}+1}{2^{2n+2}+1}\right)$이다.

다시 Q$\displaystyle _n$을 지나고 기울기가 $\displaystyle -\frac1{2^n}$인 직선과 $\displaystyle y=2^nx$ 교점의 $\displaystyle x$ 좌표를 구하면 $\displaystyle a_n=\frac{2^{2n+1}+1}{2^{2n+2}+1}\cdot\frac{2^{2n+1}+1}{2^{2n}+1}$이고 식을 정리하면 다음을 얻을 수 있다:$\displaystyle a_n=\frac{2^{2n+1}+1}{2^{2n+2}+1}\cdot\frac{2^{2n+1}+1}{2^{2n}+1}=\frac{4\cdot4^{2n}+4\cdot4^n+1}{4\cdot4^{2n}+5\cdot4^n+1}=1-\frac{4^n}{4\cdot4^{2n}+5\cdot4^n+1}=1-\frac13\left(\frac1{4^n+1}-\frac1{4^{n+1}+1}\right)$

따라서 $\displaystyle \sum_{n=1}^5a_n=5-\frac13\left(\frac15-\frac1{4^6+1}\right)=\frac13\left(\frac{74}5+\frac1{4^6+1}\right)$이고, $\displaystyle K=\frac1{4^6+1}=\frac1{4097}$이다.

좌표평면의 원점을 O라 하자. $\displaystyle y=\frac12x^2+1$ 위의 동점을 P라 하고 P에서 길이 1인 법선벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$를 구하면 원의 중심의 자취는 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$이다. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\left(t,\frac12t^2+1\right)$이고$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac1{\sqrt{t^2+1}}(t,-1)$이므로 원의 중심의 자취 Q$\displaystyle (x,y)$는 매개변수로 다음과 같이 나타내어진다.$\displaystyle (x,y)=\left(t+\frac t{\sqrt{t^2+1}},\frac12t^2+1-\frac1{\sqrt{t^2+1}}\right)$

매개함수 미분을 하면 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{t\left(1+\frac1{(t^2+1)^{3/2}}\right)}{1+\frac1{(t^2+1)^{3/2}}}=t$이다.

기울기가 1이면 $\displaystyle t=1$이므로 접점은 $\displaystyle \left(1+\frac1{\sqrt2},\frac32-\frac1{\sqrt2}\right)$이다. 따라서 구하는 직선의 방정식은$\displaystyle y=x+\frac12-\sqrt2$이다.