중앙대 2018학년도 수시 자연계열 I 3-1번 해설

[문제 3] 다음 제시문 (가), (나), (다)를 읽고 문제에 답하시오.

(가) $\displaystyle x$ 가 모든 실수의 값을 가질 때, 이차함수 $\displaystyle y=m(x-p)^2+q$ (단, $\displaystyle m\ne0$ )는

① $\displaystyle m>0$ 이면 $\displaystyle x=p$ 에서 최솟값 $\displaystyle q$ 를 갖고, 최댓값은 없다.

② $\displaystyle m<0$ 이면 $\displaystyle x=p$ 에서 최댓값 $\displaystyle q$ 를 갖고, 최솟값은 없다.

(나) 다항식 $\displaystyle A$ 를 다항식 $\displaystyle B\;(B\ne0)$ 로 나누었을 때의 몫을 $\displaystyle Q$ , 나머지를 $\displaystyle R$ 라고 하면 $\displaystyle A=BQ+R$ 가 성립한다. 이때 $\displaystyle R$ 의 차수는 $\displaystyle B$ 의 차수보다 낮다.

(다) 삼각형의 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 이은 선분을 중선이라 하고, 세 중선의 교점을 무게중심이라고 한다. 세 점 A $\displaystyle (x_1,y_1)$ , B $\displaystyle (x_2,y_2)$ , C $\displaystyle (x_3,y_3)$ 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{x_1+x_2+x_3}3,\frac{y_1+y_2+y_3}3\right)$ 이다.

[문제 3-1] 함수 $\displaystyle f(x)=x^4-12x^3+(2a+42)x^2-(12a+36)x+(2a^2+6a+11)$ 이 최솟값 28을 가지게 하는 실수 $\displaystyle a$ 의 값을 모두 구하시오. [10점]

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수학 문제 3-1 예시답안

+4점 · [3-1] 준식을

\displaystyle \{(x-3)^2+a-6\}^2+a^2+2

로 변환하면

$\displaystyle a$ 에 대한 식으로 묶으면 원래 식은 $\displaystyle (x^4-12x^3+42x^2-36x+11)+2a(x^2-6x+3)+2a^2$ 이 된다. 한편, $\displaystyle x$ 에 대한 식 $\displaystyle x^4-12x^3+42x^2-36x+11$ 을 $\displaystyle x^2-6x+3$ 으로 나누면 $\displaystyle x^4-12x^3+42x^2-36x+11=(x^2-6x+3)^2+2$ 이므로, 원래 식은 $\displaystyle (x^2-6x+3)^2+2a(x^2-6x+3)+2a^2+2$ 와 같게 된다. 따라서 완전제곱식으로 묶을 수 있고 그 결과는 $\displaystyle (x^2-6x+3+a)^2+a^2+2=\{(x-3)^2+a-6\}^2+a^2+2$ 가 된다.

+3점 · [3-1]

\displaystyle a\ge6

인 경우 가능한

\displaystyle a

가 존재하지 않는다는 것을 보이면

1) $\displaystyle a\ge6$ : 이 경우 $\displaystyle x=3$ 에서 최소이고, 최솟값은 $\displaystyle (a-6)^2+a^2+2=2a^2-12a+38$ 이다. $\displaystyle 2a^2-12a+38=28$ 에서 $\displaystyle a^2-6a+5=(a-5)(a-1)=0$ , 따라서 $\displaystyle a$ 는 1이거나 5가 될 수 있다. 그러나 $\displaystyle a\ge6$ 이므로 이는 모순이고, 따라서 이 경우 가능한 $\displaystyle a$ 가 존재하지 않는다.

+3점 · [3-1]

\displaystyle a<6

인 경우

\displaystyle a=\pm\sqrt{26}

이 가능하다는 것을 구하면

2) $\displaystyle a<6$ : 이 경우 $\displaystyle x=3\pm\sqrt{6-a}$ 에서 최소이고, 최솟값은 $\displaystyle a^2+2$ 이다. 따라서 $\displaystyle a^2+2=28$ 에서 가능한 $\displaystyle a$ 는 $\displaystyle \pm\sqrt{26}$ . 이는 위의 조건을 만족한다.따라서 가능한 $\displaystyle a$ 의 값은 $\displaystyle \pm\sqrt{26}$ 이다.

[3-1] ※ 각 단계에서 답이 틀려도 논리성을 고려하여 부분 점수 1~2점 부여 가능

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자연계열 I 3-1번

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