자연계열 I 3번

$\displaystyle a$에 대한 식으로 묶으면 원래 식은 $\displaystyle (x^4-12x^3+42x^2-36x+11)+2a(x^2-6x+3)+2a^2$이 된다. 한편, $\displaystyle x$에 대한 식 $\displaystyle x^4-12x^3+42x^2-36x+11$을 $\displaystyle x^2-6x+3$으로 나누면$\displaystyle x^4-12x^3+42x^2-36x+11=(x^2-6x+3)^2+2$이므로, 원래 식은$\displaystyle (x^2-6x+3)^2+2a(x^2-6x+3)+2a^2+2$와 같게 된다. 따라서 완전제곱식으로 묶을 수 있고 그 결과는 $\displaystyle (x^2-6x+3+a)^2+a^2+2=\{(x-3)^2+a-6\}^2+a^2+2$가 된다.

1) $\displaystyle a\ge6$ : 이 경우 $\displaystyle x=3$에서 최소이고, 최솟값은 $\displaystyle (a-6)^2+a^2+2=2a^2-12a+38$이다.$\displaystyle 2a^2-12a+38=28$에서 $\displaystyle a^2-6a+5=(a-5)(a-1)=0$, 따라서 $\displaystyle a$는 1이거나 5가 될 수 있다. 그러나 $\displaystyle a\ge6$이므로 이는 모순이고, 따라서 이 경우 가능한 $\displaystyle a$가 존재하지 않는다.

2) $\displaystyle a<6$ : 이 경우 $\displaystyle x=3\pm\sqrt{6-a}$에서 최소이고, 최솟값은 $\displaystyle a^2+2$이다. 따라서 $\displaystyle a^2+2=28$에서 가능한 $\displaystyle a$는 $\displaystyle \pm\sqrt{26}$. 이는 위의 조건을 만족한다.따라서 가능한 $\displaystyle a$의 값은 $\displaystyle \pm\sqrt{26}$이다.

$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}x_k$ : $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}x_k=\sum_{k=1}^{10}\left(\frac{{}_{30}\mathrm C_{3k-2}+{}_{30}\mathrm C_{3k-1}+{}_{30}\mathrm C_{3k}}3\right)=\frac13\sum_{k=1}^{30}{}_{30}\mathrm C_k$이다. 이항정리 $\displaystyle (1+x)^{30}=\sum_{k=0}^{30}{}_{30}\mathrm C_kx^k$에서 $\displaystyle x=1$을 대입하여, 위의 값이 $\displaystyle \frac13(2^{30}-1)$이 됨을 알 수 있다.

$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}y_k$ :$\displaystyle \frac{{}_n\mathrm C_k}{k+1}=\frac{{}_{n+1}\mathrm C_{k+1}}{n+1}$을 이용하면 $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}y_k=\frac13\sum_{k=1}^{30}\frac{{}_{30}\mathrm C_k}{k+1}(-1)^k=\frac13\sum_{k=1}^{30}\frac{{}_{31}\mathrm C_{k+1}}{31}(-1)^k=-\frac13\sum_{k=2}^{31}\frac{{}_{31}\mathrm C_k}{31}(-1)^k$이 되고, $\displaystyle (1+x)^{31}$에 대한 이항정리를 적용하면 $\displaystyle -\frac13\sum_{k=2}^{31}\frac{{}_{31}\mathrm C_k}{31}(-1)^k=-\frac13\left(0-\frac1{31}+\frac{31}{31}\right)=-\frac{10}{31}$이다.