중앙대 2018학년도 수시 자연계열 I 3-2번 해설

[문제 3] 다음 제시문 (가), (나), (다)를 읽고 문제에 답하시오.

(가) $\displaystyle x$ 가 모든 실수의 값을 가질 때, 이차함수 $\displaystyle y=m(x-p)^2+q$ (단, $\displaystyle m\ne0$ )는

① $\displaystyle m>0$ 이면 $\displaystyle x=p$ 에서 최솟값 $\displaystyle q$ 를 갖고, 최댓값은 없다.

② $\displaystyle m<0$ 이면 $\displaystyle x=p$ 에서 최댓값 $\displaystyle q$ 를 갖고, 최솟값은 없다.

(나) 다항식 $\displaystyle A$ 를 다항식 $\displaystyle B\;(B\ne0)$ 로 나누었을 때의 몫을 $\displaystyle Q$ , 나머지를 $\displaystyle R$ 라고 하면 $\displaystyle A=BQ+R$ 가 성립한다. 이때 $\displaystyle R$ 의 차수는 $\displaystyle B$ 의 차수보다 낮다.

(다) 삼각형의 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 이은 선분을 중선이라 하고, 세 중선의 교점을 무게중심이라고 한다. 세 점 A $\displaystyle (x_1,y_1)$ , B $\displaystyle (x_2,y_2)$ , C $\displaystyle (x_3,y_3)$ 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{x_1+x_2+x_3}3,\frac{y_1+y_2+y_3}3\right)$ 이다.

[문제 3-2] 자연수 $\displaystyle k$ 에 대해 점 A $\displaystyle _k$ 의 좌표는 $\displaystyle \left({}_{30}\mathrm C_k,\frac{(-1)^k{}_{30}\mathrm C_k}{k+1}\right)$ 이다. 점 A $\displaystyle _{3k-2}$ , A $\displaystyle _{3k-1}$ , A $\displaystyle _{3k}$ 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\displaystyle T_k$ 의 무게중심을 M $\displaystyle _k=(x_k,y_k)$ 라고 할 때 $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}x_k$ 와 $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}y_k$ 의 값을 각각 구하시오. [15점]

중앙대 2018학년도 수시 자연계열 I 3-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2018su/jayeon1_3_2

수학 문제 3-2 예시답안

+5점 · [3-2]

\displaystyle \left(\sum_{k=1}^{10}x_k,\sum_{k=1}^{10}y_k\right)=\left(\sum_{k=1}^{30}{}_{30}\mathrm C_k,\frac13\sum_{k=1}^{30}\frac{{}_{30}\mathrm C_k}{k+1}(-1)^k\right)

를 얻으면

Correction. [3-2] 대학 채점기준의 첫 번째 좌표에서 $\displaystyle \sum_{k=1}^{30}{}_{30}\mathrm C_k$ 앞에 계수 $\displaystyle \frac13$ 이 빠졌다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+5점 · [3-2]

\displaystyle (1+x)^{30}=\sum_{k=0}^{30}{}_{30}\mathrm C_kx^k

에서

\displaystyle x=1

을 대입하여

\displaystyle \sum_{k=1}^{10}x_k=\frac13(2^{30}-1)

을 얻으면

$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}x_k$ : $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}x_k=\sum_{k=1}^{10}\left(\frac{{}_{30}\mathrm C_{3k-2}+{}_{30}\mathrm C_{3k-1}+{}_{30}\mathrm C_{3k}}3\right)=\frac13\sum_{k=1}^{30}{}_{30}\mathrm C_k$ 이다. 이항정리 $\displaystyle (1+x)^{30}=\sum_{k=0}^{30}{}_{30}\mathrm C_kx^k$ 에서 $\displaystyle x=1$ 을 대입하여, 위의 값이 $\displaystyle \frac13(2^{30}-1)$ 이 됨을 알 수 있다.

+5점 · [3-2]

\displaystyle \sum_{k=1}^{10}y_k=-\frac{10}{31}

을 얻으면

$\displaystyle \sum_{k=1}^{10}y_k$ : $\displaystyle \frac{{}_n\mathrm C_k}{k+1}=\frac{{}_{n+1}\mathrm C_{k+1}}{n+1}$ 을 이용하면 $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}y_k=\frac13\sum_{k=1}^{30}\frac{{}_{30}\mathrm C_k}{k+1}(-1)^k=\frac13\sum_{k=1}^{30}\frac{{}_{31}\mathrm C_{k+1}}{31}(-1)^k=-\frac13\sum_{k=2}^{31}\frac{{}_{31}\mathrm C_k}{31}(-1)^k$ 이 되고, $\displaystyle (1+x)^{31}$ 에 대한 이항정리를 적용하면 $\displaystyle -\frac13\sum_{k=2}^{31}\frac{{}_{31}\mathrm C_k}{31}(-1)^k=-\frac13\left(0-\frac1{31}+\frac{31}{31}\right)=-\frac{10}{31}$ 이다.

[3-2] ※ 각 단계에서 답이 틀려도 논리성을 고려하여 부분 점수 2~3점 부여 가능

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자연계열 I 3-2번

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