자연계열 II 1번

▶ 학생과 그 보호자 20쌍을 임의로 그룹 1, 2에 각각 10쌍씩 나누고 그룹 1에서는 학생에게만 희망직업을 조사하고, 그룹 2에서는 보호자에게만 희망하는 학생의 직업을 조사하는 경우 나올 수 있는 결과는 다음의 그림과 같다.

▶ 그룹 1에서는 학생에게만 희망직업을 조사하였고 그 결과 희망직업이 교사인 경우가 2쌍이 관측되었다. 이때 학생의 희망직업이 교사일 때 보호자가 희망하는 학생의 직업이 교사일 확률($\displaystyle x$)은 위의 그림에서 $\displaystyle x=\frac3{20}\times5=\frac34$이다.

▶ 그룹 1, 2에서 학생과 그 보호자의 희망직업이 일치하는 쌍의 수를 각각 $\displaystyle X,Y$라고 하면, $\displaystyle X$와 $\displaystyle Y$는 각각 이항분포 B$\displaystyle \left(2,\frac34\right)$와 B$\displaystyle \left(2,\frac25\right)$를 따른다.

▶ 구하는 확률은 $\displaystyle X$와 $\displaystyle Y$의 합이 2 이상일 확률이고 그 확률은 1에서 $\displaystyle X$와 $\displaystyle Y$의 합이 1 이하일 확률을 빼면 된다. 그리고 $\displaystyle X$와 $\displaystyle Y$의 합이 1 이하일 확률은 $\displaystyle X=Y=0$일 확률, $\displaystyle X=1$이고 $\displaystyle Y=0$일 확률, $\displaystyle X=0$이고 $\displaystyle Y=1$일 확률의 합과 같다. 따라서 구하는 확률은 다음과 같이 계산할 수 있다.

$\displaystyle \begin{aligned}&1-\left\{{}_2\mathrm C_0\left(\frac34\right)^0\left(\frac14\right)^2\times{}_2\mathrm C_0\left(\frac25\right)^0\left(\frac35\right)^2+{}_2\mathrm C_1\left(\frac34\right)^1\left(\frac14\right)^1\times{}_2\mathrm C_0\left(\frac25\right)^0\left(\frac35\right)^2+{}_2\mathrm C_0\left(\frac34\right)^0\left(\frac14\right)^2\times{}_2\mathrm C_1\left(\frac25\right)^1\left(\frac35\right)^1\right\}\\&=1-\left(\frac1{16}\times\frac9{25}+2\times\frac3{16}\times\frac9{25}+\frac1{16}\times2\times\frac6{25}\right)=1-\frac{75}{400}=\frac{13}{16}\end{aligned}$