자연계열 II 2-1번

위 식을 변형하면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{\left(\frac kn\right)^3}{\cos^2\left(\frac\pi4\left(\frac kn\right)^2\right)}\frac1n$이 되고, 구분구적법을 쓰면 $\displaystyle \int_0^1\frac{x^3}{\cos^2\left(\frac\pi4x^2\right)}\,dx$와 같다. $\displaystyle y=x^2$로 치환하면 $\displaystyle \int_0^1\frac{x^3}{\cos^2\left(\frac\pi4x^2\right)}\,dx=\int_0^1\frac{\frac12y}{\cos^2\left(\frac\pi4y\right)}\,dy$이 되고, $\displaystyle z=\frac\pi4y$로 치환하면 $\displaystyle \int_0^{\pi/4}\frac{\frac2\pi z}{\cos^2z}\frac4\pi\,dz=\frac8{\pi^2}\int_0^{\pi/4}\frac z{\cos^2z}\,dz$가 된다. $\displaystyle \frac{d(\tan z)}{dz}=\frac1{\cos^2z}$에 착안하면 위의 적분은 부분적분을 적용하면 간단하게 되고, 계산하면 $\displaystyle \frac8{\pi^2}\int_0^{\pi/4}\frac z{\cos^2z}\,dz=\frac8{\pi^2}\left\{\Biggl[z\tan z\Biggr]_0^{\pi/4}-\int_0^{\pi/4}\tan z\,dz\right\}$이 된다. 마지막으로 $\displaystyle \tan z=\frac{\sin z}{\cos z}$이므로 $\displaystyle \int_0^{\pi/4}\tan z\,dz=\Biggl[-\ln(\cos z)\Biggr]_0^{\pi/4}=\frac12\ln2$가 되고, 이를 적용하면 $\displaystyle \frac2\pi-\frac4{\pi^2}\ln2$의 값이 얻어진다.