자연계열 II 2번

위 식을 변형하면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{\left(\frac kn\right)^3}{\cos^2\left(\frac\pi4\left(\frac kn\right)^2\right)}\frac1n$이 되고, 구분구적법을 쓰면 $\displaystyle \int_0^1\frac{x^3}{\cos^2\left(\frac\pi4x^2\right)}\,dx$와 같다. $\displaystyle y=x^2$로 치환하면 $\displaystyle \int_0^1\frac{x^3}{\cos^2\left(\frac\pi4x^2\right)}\,dx=\int_0^1\frac{\frac12y}{\cos^2\left(\frac\pi4y\right)}\,dy$이 되고, $\displaystyle z=\frac\pi4y$로 치환하면 $\displaystyle \int_0^{\pi/4}\frac{\frac2\pi z}{\cos^2z}\frac4\pi\,dz=\frac8{\pi^2}\int_0^{\pi/4}\frac z{\cos^2z}\,dz$가 된다. $\displaystyle \frac{d(\tan z)}{dz}=\frac1{\cos^2z}$에 착안하면 위의 적분은 부분적분을 적용하면 간단하게 되고, 계산하면 $\displaystyle \frac8{\pi^2}\int_0^{\pi/4}\frac z{\cos^2z}\,dz=\frac8{\pi^2}\left\{\Biggl[z\tan z\Biggr]_0^{\pi/4}-\int_0^{\pi/4}\tan z\,dz\right\}$이 된다. 마지막으로 $\displaystyle \tan z=\frac{\sin z}{\cos z}$이므로 $\displaystyle \int_0^{\pi/4}\tan z\,dz=\Biggl[-\ln(\cos z)\Biggr]_0^{\pi/4}=\frac12\ln2$가 되고, 이를 적용하면 $\displaystyle \frac2\pi-\frac4{\pi^2}\ln2$의 값이 얻어진다.

$\displaystyle x+y=8$에서 $\displaystyle y=8-x$. 이를 $\displaystyle -84\le xy\le-65$에 대입하면 두 이차 부등식 $\displaystyle x^2-8x-84\le0$, $\displaystyle x^2-8x-65\ge0$이 얻어진다. 이를 풀면 $\displaystyle -6\le x\le14$, $\displaystyle x\ge13$이거나 $\displaystyle x\le-5$의 범위가 얻어지고 따라서 $\displaystyle x$의 범위는 $\displaystyle 13\le x\le14$, $\displaystyle -6\le x\le-5$가 된다.

한편, 준식을 $\displaystyle x$에 대해 정리하면 $\displaystyle f(x)=(-x^2+8x+64)e^{8-x}$가 된다. 이를 $\displaystyle x$에 대해 미분하면 $\displaystyle (x^2-10x-56)e^{8-x}=(x-14)(x+4)e^{8-x}$가 되므로 준식은 $\displaystyle x=14$에서 극솟값, $\displaystyle x=-4$에서 극댓값을 가진다.

따라서 $\displaystyle x$의 범위를 고려하면 최댓값은 $\displaystyle x=-5$아니면 $\displaystyle x=13$인 경우 중 하나이고, 값을 비교하면 $\displaystyle x=13$일 때 $\displaystyle f(13)=-e^{-5}$의 값이 최댓값이 된다. 따라서 $\displaystyle M=-e^{-5}$.

같은 논리로, 최솟값은 $\displaystyle x=-6$ 아니면 $\displaystyle x=14$인 경우 중 하나이고, 값을 비교하면 $\displaystyle x=-6$일 때 $\displaystyle f(-6)=-20e^{14}$의 값이 최솟값이 된다. 따라서 $\displaystyle m=-20e^{14}$.