자연계열 II 2-2번

$\displaystyle x+y=8$에서 $\displaystyle y=8-x$. 이를 $\displaystyle -84\le xy\le-65$에 대입하면 두 이차 부등식 $\displaystyle x^2-8x-84\le0$, $\displaystyle x^2-8x-65\ge0$이 얻어진다. 이를 풀면 $\displaystyle -6\le x\le14$, $\displaystyle x\ge13$이거나 $\displaystyle x\le-5$의 범위가 얻어지고 따라서 $\displaystyle x$의 범위는 $\displaystyle 13\le x\le14$, $\displaystyle -6\le x\le-5$가 된다.

한편, 준식을 $\displaystyle x$에 대해 정리하면 $\displaystyle f(x)=(-x^2+8x+64)e^{8-x}$가 된다. 이를 $\displaystyle x$에 대해 미분하면 $\displaystyle (x^2-10x-56)e^{8-x}=(x-14)(x+4)e^{8-x}$가 되므로 준식은 $\displaystyle x=14$에서 극솟값, $\displaystyle x=-4$에서 극댓값을 가진다.

따라서 $\displaystyle x$의 범위를 고려하면 최댓값은 $\displaystyle x=-5$아니면 $\displaystyle x=13$인 경우 중 하나이고, 값을 비교하면 $\displaystyle x=13$일 때 $\displaystyle f(13)=-e^{-5}$의 값이 최댓값이 된다. 따라서 $\displaystyle M=-e^{-5}$.

같은 논리로, 최솟값은 $\displaystyle x=-6$ 아니면 $\displaystyle x=14$인 경우 중 하나이고, 값을 비교하면 $\displaystyle x=-6$일 때 $\displaystyle f(-6)=-20e^{14}$의 값이 최솟값이 된다. 따라서 $\displaystyle m=-20e^{14}$.