중앙대 2019학년도 모의 자연계열 2-1번 해설

[문제 2] 다음 제시문 (가), (나), (다)를 읽고 문제에 답하시오.

(가) 좌표평면의 두 점 A $\displaystyle (x_1,y_1)$ , B $\displaystyle (x_2,y_2)$ 를 이은 선분 AB를 $\displaystyle m:n\;(m>0,n>0)$ 으로 내분하는 점 P는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}:\overline{\mathrm{PB}}=m:n$ 을 만족하는 점이고, 그 좌표 $\displaystyle (x,y)$ 를 구하면 다음과 같다.

$\displaystyle x=\frac{mx_2+nx_1}{m+n},\quad y=\frac{my_2+ny_1}{m+n}$

(나) 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 $\displaystyle a\sin\theta+b\cos\theta\;(a\ne0,b\ne0)$ 를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\displaystyle a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)$

$\displaystyle \left(\text{단, }\cos\alpha=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}},\;\sin\alpha=\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$

(다) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=c$ 에서 미분가능하고 $\displaystyle x=c$ 에서 극값을 가지면 $\displaystyle f^{\prime}(c)=0$ 이다.

[문제 2-1] 서로 간의 거리를 1로 유지하면서 좌표평면의 $\displaystyle x$ 축과 $\displaystyle y$ 축 위를 각각 움직이는 점 A와 B가 있다. 선분 AB 위에 놓인 점 중에서 $\displaystyle x$ 좌표가 $\displaystyle \frac8{27}$ 인 점의 $\displaystyle y$ 좌표가 취할 수 있는 값의 최댓값과 최솟값의 차를 구하시오. [10점]

중앙대 2019학년도 모의 자연계열 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2019mo/jayeon_2_1

[문제 2-1]

+5점 · [2-1]

\displaystyle y

를

\displaystyle \theta

에 대하여 표현하여

\displaystyle y=\sin\theta-\frac8{27}\tan\theta

를 얻으면

$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=1$ 이므로 점 A와 B를 각각 A $\displaystyle (\cos\theta,0)$ 과 B $\displaystyle (0,\sin\theta)$ 로 놓을 수 있다. 두 점 A, B를 통과하는 직선의 방정식은 $\displaystyle \frac x{\cos\theta}+\frac y{\sin\theta}=1$ 으로 주어진다. 선분 AB 위에 놓인 점 P의 $\displaystyle x$ 좌표가 $\displaystyle \frac8{27}$ 이면 P의 $\displaystyle y$ 좌표는 $\displaystyle \frac8{27\cos\theta}+\frac y{\sin\theta}=1$ 을 만족한다. 이 식을 $\displaystyle y$ 에 관하여 정리하면 $\displaystyle y=\sin\theta-\frac8{27}\tan\theta$ 를 얻는데,

+2점 · [2-1]

\displaystyle y^{\prime}=0

을 풀어

\displaystyle \cos\theta=\frac23

을 구하면

양변을 $\displaystyle \theta$ 에 대하여 미분하여 $\displaystyle y^{\prime}=\cos\theta-\frac8{27\sec^2\theta}$ 이다. $\displaystyle y^{\prime}=0$ 을 풀면 $\displaystyle \cos^3\theta=\frac8{27}$ 에서 $\displaystyle \cos\theta=\frac23$ 을 얻는다.Correction. [2-1] 대학 답안의 도함수에서 $\displaystyle \frac8{27\sec^2\theta}$ 는 $\displaystyle \frac8{27}\sec^2\theta$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+3점 · [2-1] 최댓값과 최솟값의 차

\displaystyle \frac{10\sqrt5}{27}

을 구하면

이때, $\displaystyle \sin\theta=\pm\frac{\sqrt5}3$ 이다. 제시문 (다)에 의해 $\displaystyle y$ 의 극댓값과 극솟값을 구하면 $\displaystyle \pm\frac{5\sqrt5}{27}$ 이고 이는 실제로 $\displaystyle y$ 의 최댓값과 최솟값이 된다. 따라서 P의 $\displaystyle y$ 좌표의 최댓값과 최솟값의 차는 $\displaystyle \frac{10\sqrt5}{27}$ 이다.

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자연계열 2-1번

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