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자연계열 2-2번

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중앙대 2019학년도 모의 자연계열 2-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2019mo/jayeon_2_2

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[문제 2] 다음 제시문 (가), (나), (다)를 읽고 문제에 답하시오.

(가) 좌표평면의 두 점 A(x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1), B(x2,y2)\displaystyle (x_2,y_2)를 이은 선분 AB를 m:n  (m>0,n>0)\displaystyle m:n\;(m>0,n>0)으로 내분하는 점 P는 AP‾:PB‾=m:n\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}:\overline{\mathrm{PB}}=m:n을 만족하는 점이고, 그 좌표 (x,y)\displaystyle (x,y)를 구하면 다음과 같다.

x=mx2+nx1m+n,y=my2+ny1m+n\displaystyle x=\frac{mx_2+nx_1}{m+n},\quad y=\frac{my_2+ny_1}{m+n}

(나) 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 asin⁡θ+bcos⁡θ  (a≠0,b≠0)\displaystyle a\sin\theta+b\cos\theta\;(a\ne0,b\ne0)를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

asin⁡θ+bcos⁡θ=a2+b2sin⁡(θ+α)\displaystyle a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)

(단, cos⁡α=aa2+b2,  sin⁡α=ba2+b2)\displaystyle \left(\text{단, }\cos\alpha=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}},\;\sin\alpha=\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}\right)

(다) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=c\displaystyle x=c에서 미분가능하고 x=c\displaystyle x=c에서 극값을 가지면 f′(c)=0\displaystyle f^{\prime}(c)=0이다.

[문제 2-2] 좌표평면에 놓인 직선 y=12x\displaystyle y=\frac12x 위를 움직이는 점 C와 직선 y=−2x\displaystyle y=-2x 위를 움직이는 점 D 사이의 거리가 1이라 하자. 선분 CD를 8:5로 내분하는 점 Q(x,y)\displaystyle (x,y)에 대하여 x+y\displaystyle x+y의 최댓값을 구하시오. [15점]

해설강의 준비중

중앙대 2019학년도 모의 자연계열 2-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2019mo/jayeon_2_2

[문제 2-2]

+5점 · [2-2] 점 C, D의 좌표를 θ\displaystyle \theta에 대하여 표현하여 C(25cos⁡θ,15cos⁡θ)\displaystyle \left(\frac2{\sqrt5}\cos\theta,\frac1{\sqrt5}\cos\theta\right), D(−15sin⁡θ,25sin⁡θ)\displaystyle \left(-\frac1{\sqrt5}\sin\theta,\frac2{\sqrt5}\sin\theta\right)을 얻으면

좌표평면의 원점을 O라 하면 CD‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}=1이므로 OA‾=∣cos⁡θ∣\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}=|\cos\theta|, OB‾=∣sin⁡θ∣\displaystyle \overline{\mathrm{OB}}=|\sin\theta|를 만족하는 θ\displaystyle \theta를 찾을 수 있다.이때, 점 C, D는 각각 직선 y=12x\displaystyle y=\frac12x, y=−2x\displaystyle y=-2x 위의 점이므로 다음과 같이 놓을 수 있다.C(25cos⁡θ,15cos⁡θ),  D(−15sin⁡θ,25sin⁡θ)\displaystyle \mathrm C\left(\frac2{\sqrt5}\cos\theta,\frac1{\sqrt5}\cos\theta\right),\;\mathrm D\left(-\frac1{\sqrt5}\sin\theta,\frac2{\sqrt5}\sin\theta\right)

+5점 · [2-2] Q(x,y)\displaystyle (x,y)의 좌표를 θ\displaystyle \theta에 대하여 표현하여 x=113(5×25cos⁡θ+8×(−1)5sin⁡θ)\displaystyle x=\frac1{13}\left(\frac{5\times2}{\sqrt5}\cos\theta+\frac{8\times(-1)}{\sqrt5}\sin\theta\right), y=113(5×15cos⁡θ+8×25sin⁡θ)\displaystyle y=\frac1{13}\left(\frac{5\times1}{\sqrt5}\cos\theta+\frac{8\times2}{\sqrt5}\sin\theta\right)을 얻으면

제시문 (가)를 이용하여 Q(x,y)\displaystyle (x,y)의 좌표는 다음과 같이 주어짐을 알 수 있다.x=113(5×25cos⁡θ+8×(−1)5sin⁡θ)\displaystyle x=\frac1{13}\left(\frac{5\times2}{\sqrt5}\cos\theta+\frac{8\times(-1)}{\sqrt5}\sin\theta\right)y=113(5×15cos⁡θ+8×25sin⁡θ)\displaystyle y=\frac1{13}\left(\frac{5\times1}{\sqrt5}\cos\theta+\frac{8\times2}{\sqrt5}\sin\theta\right)

+5점 · [2-2] 최댓값 17565\displaystyle \frac{17\sqrt5}{65}을 계산하면

따라서 x+y=15135cos⁡θ+8135sin⁡θ\displaystyle x+y=\frac{15}{13\sqrt5}\cos\theta+\frac8{13\sqrt5}\sin\theta이고 제시문 (나)를 이용하여 최댓값을 계산하면 17565\displaystyle \frac{17\sqrt5}{65}이다.

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