자연계열 2번

$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=1$이므로 점 A와 B를 각각 A$\displaystyle (\cos\theta,0)$과 B$\displaystyle (0,\sin\theta)$로 놓을 수 있다. 두 점 A, B를 통과하는 직선의 방정식은 $\displaystyle \frac x{\cos\theta}+\frac y{\sin\theta}=1$으로 주어진다. 선분 AB 위에 놓인 점 P의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle \frac8{27}$이면 P의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle \frac8{27\cos\theta}+\frac y{\sin\theta}=1$을 만족한다. 이 식을 $\displaystyle y$에 관하여 정리하면 $\displaystyle y=\sin\theta-\frac8{27}\tan\theta$를 얻는데,

양변을 $\displaystyle \theta$에 대하여 미분하여 $\displaystyle y^{\prime}=\cos\theta-\frac8{27\sec^2\theta}$이다. $\displaystyle y^{\prime}=0$을 풀면 $\displaystyle \cos^3\theta=\frac8{27}$에서 $\displaystyle \cos\theta=\frac23$을 얻는다.Correction. [2-1] 대학 답안의 도함수에서 $\displaystyle \frac8{27\sec^2\theta}$는 $\displaystyle \frac8{27}\sec^2\theta$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

이때, $\displaystyle \sin\theta=\pm\frac{\sqrt5}3$이다. 제시문 (다)에 의해 $\displaystyle y$의 극댓값과 극솟값을 구하면 $\displaystyle \pm\frac{5\sqrt5}{27}$이고 이는 실제로 $\displaystyle y$의 최댓값과 최솟값이 된다. 따라서 P의 $\displaystyle y$좌표의 최댓값과 최솟값의 차는 $\displaystyle \frac{10\sqrt5}{27}$이다.

좌표평면의 원점을 O라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}=1$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}=|\cos\theta|$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}}=|\sin\theta|$를 만족하는 $\displaystyle \theta$를 찾을 수 있다.이때, 점 C, D는 각각 직선 $\displaystyle y=\frac12x$, $\displaystyle y=-2x$ 위의 점이므로 다음과 같이 놓을 수 있다.$\displaystyle \mathrm C\left(\frac2{\sqrt5}\cos\theta,\frac1{\sqrt5}\cos\theta\right),\;\mathrm D\left(-\frac1{\sqrt5}\sin\theta,\frac2{\sqrt5}\sin\theta\right)$

제시문 (가)를 이용하여 Q$\displaystyle (x,y)$의 좌표는 다음과 같이 주어짐을 알 수 있다.$\displaystyle x=\frac1{13}\left(\frac{5\times2}{\sqrt5}\cos\theta+\frac{8\times(-1)}{\sqrt5}\sin\theta\right)$$\displaystyle y=\frac1{13}\left(\frac{5\times1}{\sqrt5}\cos\theta+\frac{8\times2}{\sqrt5}\sin\theta\right)$

따라서 $\displaystyle x+y=\frac{15}{13\sqrt5}\cos\theta+\frac8{13\sqrt5}\sin\theta$이고 제시문 (나)를 이용하여 최댓값을 계산하면 $\displaystyle \frac{17\sqrt5}{65}$이다.