자연계열 1번

중앙대 2019학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2019mo/jayeon_1

[문제 1] 총 4명의 선수가 참여하는 테니스 토너먼트 대회가 다음의 규칙으로 진행된다.

● 4명의 선수들은 지난 대회 성적이 좋은 순서대로 각각 1번부터 4번까지의 번호를 부여받는다.

● 1라운드에서 4명의 선수들은 임의로 결정된 대진표에 따라 경기를 진행한다.

● 1라운드 승자 두 명이 최종 결승을 치러서 최종 우승자를 가리고, 우승자에게는 상금이 주어진다.

● 모든 경기에서는 더 낮은 번호를 부여받은(즉, 지난 대회 성적이 더 좋은) 선수가 $\displaystyle p$ 의 확률로 승리한다고 가정한다.

이러한 규칙을 따르는 두 토너먼트 대회 A, B가 같은 시기에 다른 장소에서 동시에 열릴 예정이다. 영희는 두 대회 중 한 대회를 선택해서 출전할 수 있다. 선수들의 상대적인 성적을 바탕으로 했을 때, 영희가 A대회에 참가하면 2번을 부여받게 되고, B대회에 참가하면 3번을 부여받는다. B대회의 우승 상금은 A대회 우승 상금의 두 배이다. 이때 영희가 B대회에 참가하였을 때 받을 수 있는 우승 상금의 기댓값이 A대회에 참가하였을 때의 우승 상금의 기댓값보다 크거나 같도록 하는 $\displaystyle p$ 의 최댓값을 구하시오. [20점]

해설강의 준비중

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● 테니스 토너먼트의 대진표는 다음과 같이 3가지 경우가 존재한다.

● $\displaystyle p$ 가 0 또는 1이면 4번 선수 또는 1번 선수가 항상 우승하게 되고, 영희는 절대로 우승할 수가 없기 때문에 토너먼트 대회가 성립되지 않는다. 따라서 확률의 범위를 $\displaystyle 0<p<1$ 로 가정하고 문제를 고려한다.

+5점 · A대회의 우승 확률을 올바르게 계산한 경우

● 영희가 A대회에 참가하여 우승할 확률은 다음과 같다.(1)의 경우: $\displaystyle (1-p)p$ (2)의 경우: $\displaystyle p[p(1-p)+(1-p)p]$ (3)의 경우: $\displaystyle p[p(1-p)+(1-p)p]$ 즉, 확률은 $\displaystyle \frac13(1-p)p+\frac13p[p(1-p)+(1-p)p]+\frac13p[p(1-p)+(1-p)p]=\frac13(1-p)p(1+4p)$ 이다.

+3점 · A대회의 우승 상금에 대한 기댓값을 올바르게 계산한 경우

A대회의 우승 상금이 M이라고 할 때, 영희가 A대회에 참가해서 받을 수 있는 우승 상금의 기댓값은 $\displaystyle \frac13M(1-p)p(1+4p)$ 이다.

+5점 · B대회의 우승 확률을 올바르게 계산한 경우

● 위와 같은 방법으로 영희가 B대회에 참가하여 우승할 확률은 다음과 같이 계산된다. $\displaystyle \frac13p(1-p)+\frac13(1-p)[p(1-p)+(1-p)p]+\frac13(1-p)[p(1-p)+(1-p)p]=\frac13(1-p)p(5-4p)$

+3점 · B대회의 우승 상금에 대한 기댓값을 올바르게 계산한 경우

B대회의 우승 상금이 2M이라고 할 때, 영희가 B대회에 참가해서 받을 수 있는 우승 상금의 기댓값은 $\displaystyle \frac13 2M(1-p)p(5-4p)$ 이다.

+4점 · A, B대회 우승 상금의 기댓값의 차이를 이용하여

\displaystyle p

의 최댓값을 올바르게 계산한 경우

● 즉, $\displaystyle \frac13M(1-p)p(1+4p)\le\frac13 2M(1-p)p(5-4p)$ 이고, 이를 만족하는 $\displaystyle p$ 의 최댓값은 다음과 같이 계산된다. $\displaystyle (1+4p)\le2(5-4p)\Rightarrow p\le\frac34=0.75$ 따라서 $\displaystyle p$ 의 최댓값은 $\displaystyle \frac34$ 또는 0.75이다.

● $\displaystyle p$ 의 범위를 $\displaystyle 0\le p\le1$ 로 고려하고 문제를 전개한 후 $\displaystyle p$ 의 최댓값을 1이라고 한 경우 수리적으로 가능한 답이다.

6. 1~4단계를 정확히 계산한 후 $\displaystyle p$ 의 범위를 $\displaystyle 0\le p\le1$ 로 고려하여 $\displaystyle p$ 의 최댓값을 1로 제시한 경우 정답으로 처리

※ 각 단계에서 답이 틀려도 논리성을 고려하여 부분 점수 2~3점 부여 가능

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