중앙대 2019학년도 수시 자연계열 I 2-2번 해설

[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 0과 $\displaystyle \pi$ 사이의 각 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 에 대하여 다음 식이 성립한다.

$\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

(단, $\displaystyle \alpha\ne\frac\pi2$ , $\displaystyle \beta\ne\frac\pi2$ , $\displaystyle \tan\alpha\tan\beta\ne1$ )

● $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=c$ , $\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=d$ ( $\displaystyle c,d$ 는 실수)일 때 다음이 성립한다.

$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)g(x)=\lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a}g(x)=cd$

● 미분가능한 두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$\displaystyle \int f(x)g^{\prime}(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime}(x)g(x)\,dx$

[문제 2-2] 다음을 계산하시오. [15점]

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\int_0^\pi e^{-nx}\sin(kx)\,dx$

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문제 2-2

+5점 · [2-2]

\displaystyle \int_0^\pi e^{-nx}\sin(kx)\,dx=\frac{e^{-n\pi}k\cos(k\pi)}{n^2+k^2}+\frac k{n^2+k^2}

를 얻으면

Correction. 이 식에서 $\displaystyle \frac{e^{-n\pi}k\cos(k\pi)}{n^2+k^2}$ 앞의 $\displaystyle +$ 는 $\displaystyle -$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

우선 부분적분을 두 번 적용하여 다음을 얻는다. $\displaystyle \begin{aligned}\int_0^\pi e^{-nx}\sin(kx)\,dx&=\Biggl[-\frac1n e^{-nx}\sin(kx)\Biggr]_0^\pi-\int_0^\pi\left(-\frac1ne^{-nx}\right)k\cos(kx)\,dx\\&=\frac kn\int_0^\pi e^{-nx}\cos(kx)\,dx\\&=\frac kn\Biggl[-\frac1ne^{-nx}\cos(kx)\Biggr]_0^\pi-\frac kn\int_0^\pi\left(-\frac1ne^{-nx}\right)(-k\sin(kx))\,dx\\&=-\frac{e^{-n\pi}k\cos(k\pi)}{n^2}+\frac k{n^2}-\frac{k^2}{n^2}\int_0^\pi e^{-nx}\sin(kx)\,dx\end{aligned}$ 위 식을 정리하면 $\displaystyle \int_0^\pi e^{-nx}\sin(kx)\,dx=\frac k{n^2+k^2}+\frac{e^{-n\pi}k\cos(k\pi)}{n^2+k^2}$ 이므로Correction. 이 식에서 $\displaystyle \frac{e^{-n\pi}k\cos(k\pi)}{n^2+k^2}$ 앞의 $\displaystyle +$ 는 $\displaystyle -$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다. $\displaystyle \sum_{k=1}^n\int_0^\pi e^{-nx}\sin(kx)\,dx=\sum_{k=1}^n\frac k{n^2+k^2}+\sum_{k=1}^n\frac{e^{-n\pi}k\cos(k\pi)}{n^2+k^2}$ Correction. 이 식에서 $\displaystyle \frac{e^{-n\pi}k\cos(k\pi)}{n^2+k^2}$ 앞의 $\displaystyle +$ 는 $\displaystyle -$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+5점 · [2-2] 두 번째 합의 극한

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac k{n^2+k^2}=\frac{\ln2}2

를 계산을 통해 얻으면

이다. 이때, 구분구적법과 치환( $\displaystyle t=1+x^2$ )을 이용하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac k{n^2+k^2}=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{k/n}{1+(k/n)^2}=\int_0^1\frac x{1+x^2}\,dx=\int_1^2\frac1{2t}\,dt=\frac{\ln2}2.$ 를 얻을 수 있다.

+5점 · [2-2] 첫 번째 합의 극한

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{e^{-n\pi}k}{n^2}=0

를 충분한 근거를 제시하여 얻으면 (0을 얻었지만 근거가 부족하면 +3점)

한편, $\displaystyle -\frac1{n^2}\le\frac{\cos(k\pi)}{n^2+k^2}\le\frac1{n^2}$ 이므로, $\displaystyle -\sum_{k=1}^n\frac{e^{-n\pi}k}{n^2}\le\sum_{k=1}^n\frac{e^{-n\pi}\cos(k\pi)k}{n^2+k^2}\le\sum_{k=1}^n\frac{e^{-n\pi}k}{n^2}$ 이다. 그런데 $\displaystyle \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2$ 를 이용하여 계산하면 $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{e^{-n\pi}k}{n^2}=e^{-n\pi}\frac{n(n+1)}{2n^2}$ 이 0으로 수렴함을 보일 수 있다. $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{e^{-n\pi}(-1)^kk}{n^2+k^2}$ 보다 작은 수열과 큰 수열 모두 0으로수렴하므로, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{e^{-n\pi}(-1)^kk}{n^2+k^2}=0$ 이다.

모두를 정리하여, $\displaystyle \sum_{k=1}^n\int_0^\pi e^{-nx}\sin(kx)\,dx=\frac{\ln2}2$ 를 얻는다.Correction. 이 등식의 좌변에는 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}$ 가 빠졌다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

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자연계열 I 2-2번

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