자연계열 I 2번

각 ACB를 $\displaystyle \theta$라고 하고, 각 ACB와 각 ACO (이때 O$\displaystyle (0,0)$는 원점)에 탄젠트 함수의 덧셈 정리를 적용하여$\displaystyle \tan\theta=\frac{\frac{x+6}{2x+6}-\frac{x+5}{2x+5}}{1+\frac{x+5}{2x+5}\frac{x+6}{2x+6}}=\frac x{5x^2+33x+60}$를 얻는다.

이 식의 분모와 분자를 $\displaystyle x$로 나누어 다음과 같이 정리한 후$\displaystyle \tan\theta=\frac1{5x+\frac{60}x+33},$산술기하 평균을 이용하면, $\displaystyle x=2\sqrt3$일 때 $\displaystyle \tan\theta$가 최댓값을 갖고,따라서 $\displaystyle \theta$도 최댓값을 갖는다는 것을 알 수 있다.

우선 부분적분을 두 번 적용하여 다음을 얻는다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^\pi e^{-nx}\sin(kx)\,dx&=\Biggl[-\frac1n e^{-nx}\sin(kx)\Biggr]_0^\pi-\int_0^\pi\left(-\frac1ne^{-nx}\right)k\cos(kx)\,dx\\&=\frac kn\int_0^\pi e^{-nx}\cos(kx)\,dx\\&=\frac kn\Biggl[-\frac1ne^{-nx}\cos(kx)\Biggr]_0^\pi-\frac kn\int_0^\pi\left(-\frac1ne^{-nx}\right)(-k\sin(kx))\,dx\\&=-\frac{e^{-n\pi}k\cos(k\pi)}{n^2}+\frac k{n^2}-\frac{k^2}{n^2}\int_0^\pi e^{-nx}\sin(kx)\,dx\end{aligned}$위 식을 정리하면 $\displaystyle \int_0^\pi e^{-nx}\sin(kx)\,dx=\frac k{n^2+k^2}+\frac{e^{-n\pi}k\cos(k\pi)}{n^2+k^2}$이므로Correction. 이 식에서 $\displaystyle \frac{e^{-n\pi}k\cos(k\pi)}{n^2+k^2}$ 앞의 $\displaystyle +$는 $\displaystyle -$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \sum_{k=1}^n\int_0^\pi e^{-nx}\sin(kx)\,dx=\sum_{k=1}^n\frac k{n^2+k^2}+\sum_{k=1}^n\frac{e^{-n\pi}k\cos(k\pi)}{n^2+k^2}$Correction. 이 식에서 $\displaystyle \frac{e^{-n\pi}k\cos(k\pi)}{n^2+k^2}$ 앞의 $\displaystyle +$는 $\displaystyle -$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

이다. 이때, 구분구적법과 치환($\displaystyle t=1+x^2$)을 이용하여$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac k{n^2+k^2}=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{k/n}{1+(k/n)^2}=\int_0^1\frac x{1+x^2}\,dx=\int_1^2\frac1{2t}\,dt=\frac{\ln2}2.$를 얻을 수 있다.

한편, $\displaystyle -\frac1{n^2}\le\frac{\cos(k\pi)}{n^2+k^2}\le\frac1{n^2}$이므로,$\displaystyle -\sum_{k=1}^n\frac{e^{-n\pi}k}{n^2}\le\sum_{k=1}^n\frac{e^{-n\pi}\cos(k\pi)k}{n^2+k^2}\le\sum_{k=1}^n\frac{e^{-n\pi}k}{n^2}$이다. 그런데 $\displaystyle \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2$를 이용하여 계산하면 $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{e^{-n\pi}k}{n^2}=e^{-n\pi}\frac{n(n+1)}{2n^2}$이 0으로 수렴함을 보일 수 있다.$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{e^{-n\pi}(-1)^kk}{n^2+k^2}$보다 작은 수열과 큰 수열 모두 0으로수렴하므로, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{e^{-n\pi}(-1)^kk}{n^2+k^2}=0$이다.