자연계열 I 3-1번

$\displaystyle x^2+2x+2=0$의 한 근을 $\displaystyle \alpha$라고 하자. 다항식의 나눗셈을 이용하여$\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=(x^2+2x+2)q(x)+(cx+d)$라고 하면,$\displaystyle (g\circ f)(\alpha)=g(f(\alpha))=(\alpha^2+2\alpha+2)q(\alpha)+c\alpha+d=c\alpha+d$이다.$\displaystyle \alpha$는 실수가 아니므로, 문제에서 $\displaystyle (g\circ f)(x)$가 $\displaystyle x^2+2x+2$로 나누어 떨어진다는 조건, 즉$\displaystyle c=d=0$이라는 조건은 $\displaystyle c\alpha+b=0$이라는 조건과 필요충분조건이다. 따라서 $\displaystyle g(f(\alpha))=0$을Correction. [3-1] 대학 답안과 채점기준의 $\displaystyle c\alpha+b=0$은 $\displaystyle c\alpha+d=0$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.만족하게 하는 $\displaystyle f(x)$를 찾으면 된다.

한편, $\displaystyle f(\alpha)$를 계산하면,$\displaystyle \begin{aligned}f(\alpha)&=\alpha^3+3\alpha^2+a\alpha+b=(\alpha+1)(\alpha^2+2\alpha+2)+(a-4)\alpha+(b-2)\\&=(a-4)\alpha+(b-2)\end{aligned}$에서, $\displaystyle g((a-4)\alpha+(b-2))=0$이 되는 $\displaystyle a,b$를 찾으면 된다.$\displaystyle a-4=k$, $\displaystyle b-2=l$로 치환하면 위 식은$\displaystyle \begin{aligned}g(k\alpha+l)&=k^2\alpha^2+(2kl+2k)\alpha+(l^2+2l+2)\\&=k^2(\alpha^2+2\alpha+2)+(2kl+2k-2k^2)\alpha+(l^2+2l+2-2k^2)\\&=(2kl+2k-2k^2)\alpha+(l^2+2l+2-2k^2)\\&=0\end{aligned}$에서, $\displaystyle \alpha$가 실수가 아니므로 $\displaystyle 2kl+2k-2k^2=0$, $\displaystyle l^2+2l+2-2k^2=0$을 얻고, 이를 풀면$\displaystyle (k,l)=(1,0),(-1,-2)$를 얻는다.

따라서 가능한 순서쌍은 $\displaystyle (a,b)=(5,2),(3,0)$이다.