중앙대 2019학년도 수시 자연계열 I 3-2번 해설

[문제 3] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 다항식 $\displaystyle A$ 를 다항식 $\displaystyle B\;(B\ne0)$ 로 나누었을 때의 몫을 $\displaystyle Q$ , 나머지를 $\displaystyle R$ 라고 하면 다음 식이 성립한다.

$\displaystyle A=BQ+R$

여기서 $\displaystyle R$ 의 차수는 $\displaystyle B$ 의 차수보다 낮다.

● 두 함수 $\displaystyle f:X\to Y$ , $\displaystyle g:Y\to Z$ 의 합성함수 $\displaystyle g\circ f:X\to Z$ 는 $\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))$ 이다.

● 좌표평면 위의 두 점 P $\displaystyle (x_1,y_1)$ , Q $\displaystyle (x_2,y_2)$ 사이의 거리는 다음과 같다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

[문제 3-2] 좌표평면 위의 점 P $\displaystyle (1,0)$ 에 이르는 거리와 직선 $\displaystyle x=-2$ 에 이르는 거리의 비가 1:2인 점들의 집합을 $\displaystyle C$ 라고 하자. 곡선 $\displaystyle C$ 위의 점 Q $\displaystyle (1,y_0)$ 에서의 법선이 $\displaystyle x$ 축 위의 어떤 점 R $\displaystyle (x_0,0)$ 에 대해 각 PQR를 이등분할 때, $\displaystyle x_0$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle y_0>0$ ) [15점]

중앙대 2019학년도 수시 자연계열 I 3-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2019su/jayeon1_3_2

문제 3-2

+5점 · [3-2] 문제의 조건을 만족하는 점들의 집합이

\displaystyle \frac{(x-2)^2}4+\frac{y^2}3=1

인 것을 보이면

거리에 대한 조건 $\displaystyle 2\sqrt{(x-1)^2+y^2}=x+2$ 에서 양변을 제곱하여 정리하면, 문제의 조건을 만족하는 점들의 좌표 $\displaystyle x,y$ 는 $\displaystyle \frac{(x-2)^2}4+\frac{y^2}3=1$ 을 만족해야 한다.

+5점 · [3-2] Q

\displaystyle (1,y_0)

에서의 법선의 기울기가

\displaystyle -2

라는 것을 보이면

따라서 $\displaystyle y_0=\frac32$ 를 얻을 수 있고, 점 Q $\displaystyle (1,y_0)$ 에서의 접선의 기울기를 구하기 위해 음함수의 미분법을 이용하면곡선 $\displaystyle C$ 위의 임의의 점 $\displaystyle (x,y)$ 에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{3(x-2)}{4y}$ 임을 얻고, 이를 이용하여 Q $\displaystyle (1,y_0)$ 에서의접선의 기울기가 $\displaystyle \frac12$ 이라는 것을 알 수 있다.따라서 법선의 기울기는 $\displaystyle -2$ 이고, 법선과 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$ 가 이루는 예각을 $\displaystyle \theta$ 라고 하면, $\displaystyle \tan\theta=\frac12$ 이 된다.

+5점 · [3-2] 탄젠트의 덧셈정리를 사용하여

\displaystyle x_0=3

을 얻으면

한편, 점 R $\displaystyle (x_0,0)$ 과 점 Q $\displaystyle (1,y_0)$ 를 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{y_0}{1-x_0}=\frac3{2(1-x_0)}$ 가 되고,문제의 조건에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}$ 과 법선이 이루는 각이 $\displaystyle \theta$ 와 같아야 하므로,탄젠트의 덧셈정리에 의해 $\displaystyle \frac{\frac3{2(1-x_0)}-(-2)}{1+\frac3{2(1-x_0)}\cdot(-2)}=\frac12$ 을 이용하여 $\displaystyle x_0=3$ 을 얻는다.

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자연계열 I 3-2번

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