자연계열 I 3번

$\displaystyle x^2+2x+2=0$의 한 근을 $\displaystyle \alpha$라고 하자. 다항식의 나눗셈을 이용하여$\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=(x^2+2x+2)q(x)+(cx+d)$라고 하면,$\displaystyle (g\circ f)(\alpha)=g(f(\alpha))=(\alpha^2+2\alpha+2)q(\alpha)+c\alpha+d=c\alpha+d$이다.$\displaystyle \alpha$는 실수가 아니므로, 문제에서 $\displaystyle (g\circ f)(x)$가 $\displaystyle x^2+2x+2$로 나누어 떨어진다는 조건, 즉$\displaystyle c=d=0$이라는 조건은 $\displaystyle c\alpha+b=0$이라는 조건과 필요충분조건이다. 따라서 $\displaystyle g(f(\alpha))=0$을Correction. [3-1] 대학 답안과 채점기준의 $\displaystyle c\alpha+b=0$은 $\displaystyle c\alpha+d=0$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.만족하게 하는 $\displaystyle f(x)$를 찾으면 된다.

한편, $\displaystyle f(\alpha)$를 계산하면,$\displaystyle \begin{aligned}f(\alpha)&=\alpha^3+3\alpha^2+a\alpha+b=(\alpha+1)(\alpha^2+2\alpha+2)+(a-4)\alpha+(b-2)\\&=(a-4)\alpha+(b-2)\end{aligned}$에서, $\displaystyle g((a-4)\alpha+(b-2))=0$이 되는 $\displaystyle a,b$를 찾으면 된다.$\displaystyle a-4=k$, $\displaystyle b-2=l$로 치환하면 위 식은$\displaystyle \begin{aligned}g(k\alpha+l)&=k^2\alpha^2+(2kl+2k)\alpha+(l^2+2l+2)\\&=k^2(\alpha^2+2\alpha+2)+(2kl+2k-2k^2)\alpha+(l^2+2l+2-2k^2)\\&=(2kl+2k-2k^2)\alpha+(l^2+2l+2-2k^2)\\&=0\end{aligned}$에서, $\displaystyle \alpha$가 실수가 아니므로 $\displaystyle 2kl+2k-2k^2=0$, $\displaystyle l^2+2l+2-2k^2=0$을 얻고, 이를 풀면$\displaystyle (k,l)=(1,0),(-1,-2)$를 얻는다.

따라서 가능한 순서쌍은 $\displaystyle (a,b)=(5,2),(3,0)$이다.

거리에 대한 조건 $\displaystyle 2\sqrt{(x-1)^2+y^2}=x+2$에서 양변을 제곱하여 정리하면, 문제의 조건을 만족하는 점들의 좌표 $\displaystyle x,y$는$\displaystyle \frac{(x-2)^2}4+\frac{y^2}3=1$을 만족해야 한다.

따라서 $\displaystyle y_0=\frac32$를 얻을 수 있고, 점 Q$\displaystyle (1,y_0)$에서의 접선의 기울기를 구하기 위해 음함수의 미분법을 이용하면곡선 $\displaystyle C$ 위의 임의의 점 $\displaystyle (x,y)$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{3(x-2)}{4y}$임을 얻고, 이를 이용하여 Q$\displaystyle (1,y_0)$에서의접선의 기울기가 $\displaystyle \frac12$이라는 것을 알 수 있다.따라서 법선의 기울기는 $\displaystyle -2$이고, 법선과 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$가 이루는 예각을 $\displaystyle \theta$라고 하면, $\displaystyle \tan\theta=\frac12$이 된다.

한편, 점 R$\displaystyle (x_0,0)$과 점 Q$\displaystyle (1,y_0)$를 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{y_0}{1-x_0}=\frac3{2(1-x_0)}$가 되고,문제의 조건에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}$과 법선이 이루는 각이 $\displaystyle \theta$와 같아야 하므로,탄젠트의 덧셈정리에 의해 $\displaystyle \frac{\frac3{2(1-x_0)}-(-2)}{1+\frac3{2(1-x_0)}\cdot(-2)}=\frac12$을 이용하여 $\displaystyle x_0=3$을 얻는다.