자연계열 II 1번

● 1단계에서 점 A, B가 이동하는 확률을 다음과 같이 계산한다.- 두 주머니에서 임의로 뽑은 공의 무게를 각각 확률변수 $\displaystyle M_a$, $\displaystyle M_b$라고 하자.이때 $\displaystyle P(M_a\ge105)=P\left(Z\ge\frac{105-100}{10}\right)=P(Z\ge0.5)=0.5-P(0\le Z\le0.5)=0.3$이다.따라서 점 A는 0.3의 확률로 $\displaystyle x$축의 방향으로 +1만큼 평행이동하고, 0.7의 확률로 $\displaystyle y$축의 방향으로 +1만큼 평행이동한다.- 또한, $\displaystyle P(M_b\le120)=P\left(Z\ge\frac{120-120}{15}\right)=P(Z\ge0)=0.5$이다.따라서 점 B는 0.5의 확률로 $\displaystyle x$축의 방향으로 -1만큼 평행이동하고, 0.5의 확률로 $\displaystyle y$축의 방향으로 -1만큼 평행이동한다.

● 2단계에서 점 A, B가 이동하는 확률을 다음과 같이 계산한다.- 동전 한 개를 100번 던져서 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 $\displaystyle U_a$라고 하면, $\displaystyle U_a$는 이항분포 $\displaystyle \mathrm B\left(100,\frac12\right)$을 따른다.이때 $\displaystyle U_a$의 평균은 $\displaystyle 100\times\frac12=50$, 분산은 $\displaystyle 100\times\frac12\times\frac12=25$이고, 시행 횟수가 충분히 크기 때문에 $\displaystyle U_a$는근사적으로 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(50,5^2)$을 따른다. 따라서 구하는 확률은$\displaystyle P(U_a\ge54)=P\left(Z\ge\frac{54-50}5\right)=P(Z\ge0.8)=0.5-P(0\le Z\le0.8)=0.2$이고,점 A는 0.2의 확률로 $\displaystyle x$축의 방향으로 +1만큼 평행이동하고, 0.8의 확률로 $\displaystyle y$축의 방향으로 +1만큼 평행이동한다.- 다른 동전 한 개를 100번 던져서 뒷면이 나오는 횟수를 확률변수 $\displaystyle U_b$라고 하면, 같은 방법으로 $\displaystyle U_b$는 근사적으로 정규분포$\displaystyle \mathrm N(50,5^2)$을 따른다. 따라서 구하는 확률은$\displaystyle P(U_b\le49)=P\left(Z\le\frac{49-50}5\right)=P(Z\le-0.2)=0.5-P(0\le Z\le0.2)=0.4$이고,점 B는 0.4의 확률로 $\displaystyle x$축의 방향으로 -1만큼 평행이동하고, 0.6의 확률로 $\displaystyle y$축의 방향으로 -1만큼 평행이동한다.

● 위의 규칙에 따라 점 A, B가 이동하게 되면 선분 AB는 총 9가지의 경우가 발생하고, 이때의 거리는 $\displaystyle 2\sqrt2$, $\displaystyle \sqrt{10}$, 4 총 3가지 경우가 나온다. 따라서 두 점 A, B의 거리가 3을 넘지 않는 경우는 $\displaystyle 2\sqrt2$일 경우이고 그때의 확률은 다음의 표와 같다.

● 따라서 구하는 확률은 $\displaystyle 0.112+0.19+0.018=0.32$이다.