자연계열 II 2-1번

중앙대 2019학년도 수시 자연계열 II 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2019su/jayeon2_2_1

[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 0과 $\displaystyle \pi$ 사이의 모든 실수 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 에 대하여 다음 식이 성립한다.

$\displaystyle \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

(단, $\displaystyle \alpha\ne\frac\pi2$ , $\displaystyle \beta\ne\frac\pi2$ , $\displaystyle \tan\alpha\tan\beta\ne1$ )

● 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 $\displaystyle x=a$ 에서의 미분계수 $\displaystyle f^{\prime}(a)$ 는 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (a,f(a))$ 에서의 접선의 기울기와 같다.

● 좌표평면 위의 두 점 P $\displaystyle (x_1,y_1)$ , Q $\displaystyle (x_2,y_2)$ 사이의 거리는 $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ 이다.

[문제 2-1] 각 B와 각 C의 크기가 같은 이등변 삼각형 ABC에 대하여 방정식 $\displaystyle x^3-ax^2-\frac72x-b=0$ 의 세 실근이 $\displaystyle \tan\mathrm A$ , $\displaystyle \tan\mathrm B$ , $\displaystyle \tan\mathrm C$ 라고 한다. $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오. [10점]

해설강의 준비중

중앙대 2019학년도 수시 자연계열 II 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2019su/jayeon2_2_1

문제 2-1

+4점 · [2-1] 탄젠트 덧셈정리를 이용하여

\displaystyle \frac{4t^2}{t^2-1}+t^2=-\frac72

를 얻으면

먼저 탄젠트 함수의 대칭성과 탄젠트 덧셈정리, 그리고 각 B와 각 C의 크기가 같음을 이용하면 다음을 얻는다. $\displaystyle \tan\mathrm A=\tan(\pi-(\mathrm B+\mathrm C))=-\tan(\mathrm B+\mathrm C)=-\frac{\tan\mathrm B+\tan\mathrm C}{1-\tan\mathrm B\tan\mathrm C}=\frac{2\tan\mathrm B}{\tan^2\mathrm B-1}$ $\displaystyle \tan\mathrm B=t$ 라고 치환하여 근과 계수와의 관계를 사용하면 $\displaystyle \frac{4t^2}{t^2-1}+t^2=-\frac72$ 를 얻고,

+4점 · [2-1] 문제의 조건들을 이용하여

\displaystyle t=\frac1{\sqrt2}

만 나오는 것을 보이면

$\displaystyle t^2$ 에 대한이차방정식으로 바꾸어 근을 구하면 $\displaystyle t^2=\frac12,-7$ 이 나오므로 $\displaystyle t^2=\frac12$ 가 되고, $\displaystyle \mathrm B<\frac\pi2$ 가 성립해야 하므로결국 $\displaystyle t=\frac1{\sqrt2}$ 가 성립해야 함을 알 수 있다.

+2점 · [2-1]

\displaystyle a=-\sqrt2

를 얻으면

이를 대입하면 $\displaystyle a=-\sqrt2$ 임을 알 수 있다.

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