자연계열 II 2번

먼저 탄젠트 함수의 대칭성과 탄젠트 덧셈정리, 그리고 각 B와 각 C의 크기가 같음을 이용하면 다음을 얻는다.$\displaystyle \tan\mathrm A=\tan(\pi-(\mathrm B+\mathrm C))=-\tan(\mathrm B+\mathrm C)=-\frac{\tan\mathrm B+\tan\mathrm C}{1-\tan\mathrm B\tan\mathrm C}=\frac{2\tan\mathrm B}{\tan^2\mathrm B-1}$$\displaystyle \tan\mathrm B=t$라고 치환하여 근과 계수와의 관계를 사용하면 $\displaystyle \frac{4t^2}{t^2-1}+t^2=-\frac72$를 얻고,

$\displaystyle t^2$에 대한이차방정식으로 바꾸어 근을 구하면 $\displaystyle t^2=\frac12,-7$이 나오므로 $\displaystyle t^2=\frac12$가 되고, $\displaystyle \mathrm B<\frac\pi2$가 성립해야 하므로결국 $\displaystyle t=\frac1{\sqrt2}$가 성립해야 함을 알 수 있다.

이를 대입하면 $\displaystyle a=-\sqrt2$임을 알 수 있다.

A에서의 접선의 방정식 $\displaystyle y=\frac1{t^2}(x+1)-\frac2t$와 B에서의 접선의 방정식 $\displaystyle y=t^2(x+1)+2t$를이용하여 두 접선의 교점 C$\displaystyle =\left(-\frac{2t}{t^2-1}-1,-\frac{2t}{t^2-1}\right)$을 $\displaystyle t$로 표현한다.

그 다음,두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CA}}=\frac{t^2+1}{t^2-1}\left(t,\frac1t\right)$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CB}}=\frac{t^2+1}{t^2-1}\left(\frac1t,t\right)$를 구하고, 이 두 벡터를 내적한 후$\displaystyle \frac{t^2+1}{t^2-1}\left(t,\frac1t\right)\cdot\frac{t^2+1}{t^2-1}\left(\frac1t,t\right)=\frac{t^2+1}{t^2-1}\sqrt{t^2+\frac1{t^2}}\frac{t^2+1}{t^2-1}\sqrt{t^2+\frac1{t^2}}\cos\frac\pi4$식을 정리하여 $\displaystyle t^2+\frac1{t^2}=2\sqrt2$를 얻는다.

따라서, $\displaystyle t^2=\sqrt2\pm1$.

그러나 $\displaystyle t$의 범위($\displaystyle t>2$)를 고려하면,그러한 $\displaystyle t$는 존재하지 않으므로, $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}$의 제곱은 존재하지 않는다.