자연계열 I 2-1번

$\displaystyle -\int_1^x\frac{g^{\prime}(t)}{g(t)}\,dt=-\int_1^x(\ln g(t))^{\prime}\,dt=\ln\frac{g(1)}{g(x)}$이므로 $\displaystyle f(x)=\frac{g(1)}{g(x)}$이다. 그리고 $\displaystyle h(x)=\int_1^xf(t)f^{\prime}(t)\sqrt{f^2(t)+1}\,dt=\int_1^x\left(\frac13(f^2(t)+1)^{\frac32}\right)^{\prime}\,dt$이므로 $\displaystyle h(x)=\frac13(f^2(x)+1)^{\frac32}-\frac13(f^2(1)+1)^{\frac32}$이고 $\displaystyle h$의 최댓값은 $\displaystyle f$의 최댓값에서 나온다.

그리고 $\displaystyle f(x)$의 최댓값은 $\displaystyle g(x)$의 최솟값에서 얻어진다. 미분하여 정리하면 $\displaystyle g^{\prime}(x)=e^{x^2}(2x^3+6x^2+7x+3)=e^{x^2}(x+1)(2x^2+4x+3)$이므로 $\displaystyle g(-1)$에서 최솟값을 갖는다. 따라서 $\displaystyle f(x)$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{g(1)}{g(-1)}=13$이다. $\displaystyle h$의 최댓값은 $\displaystyle h(-1)=\frac13(f^2(-1)+1)^{\frac32}-\frac13(f^2(1)+1)^{\frac32}=\frac{170^{\frac32}-2^{\frac32}}3$이다.