자연계열 I 2번

$\displaystyle -\int_1^x\frac{g^{\prime}(t)}{g(t)}\,dt=-\int_1^x(\ln g(t))^{\prime}\,dt=\ln\frac{g(1)}{g(x)}$이므로 $\displaystyle f(x)=\frac{g(1)}{g(x)}$이다. 그리고 $\displaystyle h(x)=\int_1^xf(t)f^{\prime}(t)\sqrt{f^2(t)+1}\,dt=\int_1^x\left(\frac13(f^2(t)+1)^{\frac32}\right)^{\prime}\,dt$이므로 $\displaystyle h(x)=\frac13(f^2(x)+1)^{\frac32}-\frac13(f^2(1)+1)^{\frac32}$이고 $\displaystyle h$의 최댓값은 $\displaystyle f$의 최댓값에서 나온다.

그리고 $\displaystyle f(x)$의 최댓값은 $\displaystyle g(x)$의 최솟값에서 얻어진다. 미분하여 정리하면 $\displaystyle g^{\prime}(x)=e^{x^2}(2x^3+6x^2+7x+3)=e^{x^2}(x+1)(2x^2+4x+3)$이므로 $\displaystyle g(-1)$에서 최솟값을 갖는다. 따라서 $\displaystyle f(x)$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{g(1)}{g(-1)}=13$이다. $\displaystyle h$의 최댓값은 $\displaystyle h(-1)=\frac13(f^2(-1)+1)^{\frac32}-\frac13(f^2(1)+1)^{\frac32}=\frac{170^{\frac32}-2^{\frac32}}3$이다.

$\displaystyle a\ne2$이면 $\displaystyle x=1$에서 분모가 영이 안되므로 $\displaystyle \frac{2-a}{(a-1)(2-a)}=\frac1{a-1}=b$이다.

$\displaystyle a=2$이면 $\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x^2+2x+2)}{(2-x)(x-1)}=5$이고 $\displaystyle (a,b)=(2,5)$이다.

$\displaystyle a+b^2=k$로 놓고 $\displaystyle b=\frac1{a-1}$($\displaystyle \frac32\le a<2,\;2<a\le3$에서 정의된다)와 접점을 구해 보자.접점에서 만나고 미분계수가 같다는 것을 이용하면 $\displaystyle -\frac1{2b}=-b^2$이므로 $\displaystyle b=2^{-\frac13}$이다.$\displaystyle \frac12\le b<1,\;1<b\le2$이므로 $\displaystyle b=2^{-\frac13}$는 주어진 곡선의 접점이다. 이때 $\displaystyle a=1+2^{\frac13}$이므로 $\displaystyle 1+2^{\frac13}+2^{-\frac23}$이다.

곡선의 양 끝점 $\displaystyle \left(\frac32,2\right)$, $\displaystyle \left(3,\frac12\right)$에서 각각 $\displaystyle a+b^2=\frac{11}2,\;\frac{13}4$이다. $\displaystyle (a,b)=(2,5)$에서 27이다. 따라서 최솟값은 $\displaystyle 1+2^{\frac13}+2^{-\frac23}$이고 최댓값은 27이다.