자연계열 I 2-2번

$\displaystyle a\ne2$이면 $\displaystyle x=1$에서 분모가 영이 안되므로 $\displaystyle \frac{2-a}{(a-1)(2-a)}=\frac1{a-1}=b$이다.

$\displaystyle a=2$이면 $\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x^2+2x+2)}{(2-x)(x-1)}=5$이고 $\displaystyle (a,b)=(2,5)$이다.

$\displaystyle a+b^2=k$로 놓고 $\displaystyle b=\frac1{a-1}$($\displaystyle \frac32\le a<2,\;2<a\le3$에서 정의된다)와 접점을 구해 보자.접점에서 만나고 미분계수가 같다는 것을 이용하면 $\displaystyle -\frac1{2b}=-b^2$이므로 $\displaystyle b=2^{-\frac13}$이다.$\displaystyle \frac12\le b<1,\;1<b\le2$이므로 $\displaystyle b=2^{-\frac13}$는 주어진 곡선의 접점이다. 이때 $\displaystyle a=1+2^{\frac13}$이므로 $\displaystyle 1+2^{\frac13}+2^{-\frac23}$이다.

곡선의 양 끝점 $\displaystyle \left(\frac32,2\right)$, $\displaystyle \left(3,\frac12\right)$에서 각각 $\displaystyle a+b^2=\frac{11}2,\;\frac{13}4$이다. $\displaystyle (a,b)=(2,5)$에서 27이다. 따라서 최솟값은 $\displaystyle 1+2^{\frac13}+2^{-\frac23}$이고 최댓값은 27이다.