자연계열 I 3-1번

중앙대 2020학년도 수시 자연계열 I 3-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2020su/jayeon1_3_1

[문제 3] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 $\displaystyle f(x)\ge g(x)$ 일 때, 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle y=g(x)$ 및 두 직선 $\displaystyle x=a,\;x=b$ 로 둘러싸인 도형의 넓이는 다음과 같다.

$\displaystyle \int_a^b\{f(x)-g(x)\}\,dx$

● 좌표공간에서 $\displaystyle x,\;y,\;z$ 에 대한 방정식 $\displaystyle ax+by+cz+d=0$ 은 벡터 $\displaystyle \vec n=(a,b,c)$ 에 수직인 평면을 나타낸다.

[문제 3-1] 어떤 양의 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여, $\displaystyle x\ge0$ 에서 정의된 두 곡선 $\displaystyle y=e^x$ 과 $\displaystyle y=a\sin x$ 가 오직 한 점에서 만난다. 이때 두 곡선 $\displaystyle y=e^x$ 과 $\displaystyle y=a\sin x$ 및 $\displaystyle y$ 축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. [10점]

해설강의 준비중

중앙대 2020학년도 수시 자연계열 I 3-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2020su/jayeon1_3_1

[문제 3-1]

함수 $\displaystyle y=e^x$ 의 그래프와 $\displaystyle y=a\sin x$ 의 그래프를 통해 보면, 함수 $\displaystyle y=e^x$ 의 그래프가 $\displaystyle y=a\sin x$ 의 그래프보다 항상 위에 있어야 하고 $\displaystyle y=e^x$ 가 증가함수이므로 두 곡선이 만나는 점의 $\displaystyle x$ 좌표 $\displaystyle \alpha$ 가 $\displaystyle \frac\pi2$ 이하여야 함을 알 수 있다.

+6점 · 두 곡선이 만나는 점의

\displaystyle x

좌표

\displaystyle \alpha

에 대해

\displaystyle \cos\alpha=\sin\alpha

이 됨을 이용해,

\displaystyle \alpha

의 범위로부터

\displaystyle \alpha=\frac\pi4

를 얻고, 이를 대입하여

\displaystyle a=\sqrt2e^{\frac\pi4}

를 얻으면

두 곡선이 한 점에서만 만나므로 그 점에서 함수 $\displaystyle f(x)=e^x-a\sin x$ 가 $\displaystyle f(\alpha)=e^\alpha-a\sin\alpha=0,\;f^{\prime}(\alpha)=e^\alpha-a\cos\alpha=0$ 을 동시에 만족해야 한다. 따라서, 그 점에서 $\displaystyle \cos\alpha=\sin\alpha$ 이어야 하므로, $\displaystyle \alpha$ 의 범위로부터 $\displaystyle \alpha=\frac\pi4$ 를 얻고, 이를 대입하여 $\displaystyle a=\sqrt2e^{\frac\pi4}$ 를 얻는다.

+4점 · 주어진 영역의 넓이

\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}(e^x-\sqrt2e^{\frac\pi4}\sin x)\,dx

를 계산하여

\displaystyle (2-\sqrt2)e^{\frac\pi4}-1

을 얻으면

이때 주어진 영역의 넓이는 $\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}(e^x-\sqrt2e^{\frac\pi4}\sin x)\,dx$ 이고, 이를 계산하면 $\displaystyle (2-\sqrt2)e^{\frac\pi4}-1$ 을 얻는다.

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