자연계열 I 3번

두 곡선이 한 점에서만 만나므로 그 점에서 함수 $\displaystyle f(x)=e^x-a\sin x$가 $\displaystyle f(\alpha)=e^\alpha-a\sin\alpha=0,\;f^{\prime}(\alpha)=e^\alpha-a\cos\alpha=0$을 동시에 만족해야 한다. 따라서, 그 점에서 $\displaystyle \cos\alpha=\sin\alpha$이어야 하므로, $\displaystyle \alpha$의 범위로부터 $\displaystyle \alpha=\frac\pi4$를 얻고, 이를 대입하여 $\displaystyle a=\sqrt2e^{\frac\pi4}$를 얻는다.

이때 주어진 영역의 넓이는 $\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}(e^x-\sqrt2e^{\frac\pi4}\sin x)\,dx$이고, 이를 계산하면 $\displaystyle (2-\sqrt2)e^{\frac\pi4}-1$을 얻는다.

삼각형 PQR를 포함하는 평면의 방정식을 $\displaystyle \alpha x+\beta y+\gamma z=1$이라고 하면 구 $\displaystyle S$의 중심과의 거리가 1이므로 $\displaystyle \frac{|\alpha+\beta+\gamma-1|}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}}=1$이고, 한편 점 $\displaystyle (a,0,0)$, $\displaystyle (0,2a,0)$, $\displaystyle (0,0,b)$를 지나므로, $\displaystyle \alpha=\frac1a,\;\beta=\frac1{2a},\;\gamma=\frac1b$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{\left|\frac3{2a}+\gamma-1\right|}{\sqrt{\frac5{4a^2}+\gamma^2}}=1$을 얻고, 제곱하여 정리하면 $\displaystyle \gamma=\frac{a^2-3a+1}{a(2a-3)}$임을 알 수 있다. 따라서 평면의 방정식은 $\displaystyle \frac xa+\frac y{2a}+\frac{a^2-3a+1}{a(2a-3)}z=1$이다.

한편, 좌표공간의 원점과 P, Q, R를 꼭짓점으로 하는 삼각뿔의 부피 $\displaystyle V(a)=\frac13\left(\frac{a\times2a}2\right)\times\frac{a(2a-3)}{a^2-3a+1}=\frac{a^3(2a-3)}{3(a^2-3a+1)}$이다.

$\displaystyle a$에 대해 미분하면 $\displaystyle V^{\prime}(a)=\frac{a^2(a-1)(4a^2-17a+9)}{3(a^2-3a+1)^2}$이 되고, $\displaystyle V^{\prime}(a)=0$과 $\displaystyle a>3$에서부터 $\displaystyle a=\frac{17}8+\frac{\sqrt{145}}8$에서 $\displaystyle V(a)$가 최소이다.