중앙대 2020학년도 수시 자연계열 I 3-2번 해설

[문제 3] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 $\displaystyle f(x)\ge g(x)$ 일 때, 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle y=g(x)$ 및 두 직선 $\displaystyle x=a,\;x=b$ 로 둘러싸인 도형의 넓이는 다음과 같다.

$\displaystyle \int_a^b\{f(x)-g(x)\}\,dx$

● 좌표공간에서 $\displaystyle x,\;y,\;z$ 에 대한 방정식 $\displaystyle ax+by+cz+d=0$ 은 벡터 $\displaystyle \vec n=(a,b,c)$ 에 수직인 평면을 나타낸다.

[문제 3-2] 좌표공간에 구 $\displaystyle S:(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1$ 이 있고, $\displaystyle x$ 축 위의 점 P $\displaystyle (a,0,0)$ , $\displaystyle y$ 축 위의 점 Q $\displaystyle (0,2a,0)$ , $\displaystyle z$ 축 위의 점 R $\displaystyle (0,0,b)$ 가 있다. 삼각형 PQR가 구 $\displaystyle S$ 와 접할 때, 좌표공간의 원점과 P, Q, R를 꼭짓점으로 하는 삼각뿔의 부피가 최소가 되는 $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle a>3$ 이고 $\displaystyle b>0$ 이다.) [15점]

중앙대 2020학년도 수시 자연계열 I 3-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2020su/jayeon1_3_2

[문제 3-2]

+5점 · 평면의 방정식

\displaystyle \frac xa+\frac y{2a}+\frac{a^2-3a+1}{a(2a-3)}z=1

을 얻으면

삼각형 PQR를 포함하는 평면의 방정식을 $\displaystyle \alpha x+\beta y+\gamma z=1$ 이라고 하면 구 $\displaystyle S$ 의 중심과의 거리가 1이므로 $\displaystyle \frac{|\alpha+\beta+\gamma-1|}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}}=1$ 이고, 한편 점 $\displaystyle (a,0,0)$ , $\displaystyle (0,2a,0)$ , $\displaystyle (0,0,b)$ 를 지나므로, $\displaystyle \alpha=\frac1a,\;\beta=\frac1{2a},\;\gamma=\frac1b$ 이다. 따라서 $\displaystyle \frac{\left|\frac3{2a}+\gamma-1\right|}{\sqrt{\frac5{4a^2}+\gamma^2}}=1$ 을 얻고, 제곱하여 정리하면 $\displaystyle \gamma=\frac{a^2-3a+1}{a(2a-3)}$ 임을 알 수 있다. 따라서 평면의 방정식은 $\displaystyle \frac xa+\frac y{2a}+\frac{a^2-3a+1}{a(2a-3)}z=1$ 이다.

+5점 · 좌표공간의 원점과 P, Q, R를 꼭짓점으로 하는 삼각뿔의 부피

\displaystyle V(a)=\frac{a^3(2a-3)}{3(a^2-3a+1)}

을 얻으면

한편, 좌표공간의 원점과 P, Q, R를 꼭짓점으로 하는 삼각뿔의 부피 $\displaystyle V(a)=\frac13\left(\frac{a\times2a}2\right)\times\frac{a(2a-3)}{a^2-3a+1}=\frac{a^3(2a-3)}{3(a^2-3a+1)}$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle V^{\prime}(a)=0

과

\displaystyle a>3

에서부터

\displaystyle a=\frac{17}8+\frac{\sqrt{145}}8

를 얻으면

$\displaystyle a$ 에 대해 미분하면 $\displaystyle V^{\prime}(a)=\frac{a^2(a-1)(4a^2-17a+9)}{3(a^2-3a+1)^2}$ 이 되고, $\displaystyle V^{\prime}(a)=0$ 과 $\displaystyle a>3$ 에서부터 $\displaystyle a=\frac{17}8+\frac{\sqrt{145}}8$ 에서 $\displaystyle V(a)$ 가 최소이다.

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자연계열 I 3-2번

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