수리논술, 이게 다다.묶음 시간 2번 전체 묶음: 30분
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중앙대 2020학년도 수시 자연계열 II 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2020su/jayeon2_1
문제
[문제 1] 각기 다른 3개의 과제 A, B, C가 있다. 과제의 우선순위는 A가 B보다, B가 C보다 높아서 이를 고려하여 다음과 같은 방식으로 4명의 학생을 과제에 배정하려고 한다.
과제명 A가 쓰여 있는 공 2개와 과제명이 쓰여 있지 않은 공 4개가 들어 있는 주머니를 준비한다. 다음과 같은 규칙에 따라 학생들은 모두 차례대로 한 명씩 주머니에 있는 공을 한 개 뽑아서 과제에 배정된다.
● 과제명이 쓰여 있는 공을 뽑으면 그 과제에 배정되며, 이때 주머니에서 과제명이 쓰여 있지 않은 공 하나를 꺼내 배정된 과제명을 적은 후, 뽑은 공과 함께 다시 주머니에 집어넣는다. 따라서 주머니에 있는 공의 수는 6개로 유지된다.
● 과제명이 쓰여 있지 않은 공을 뽑았을 때 아직 학생이 배정되지 않은 과제가 있으면, 그 중에서 우선순위가 더 높은 과제에 배정되며, 이때 뽑은 공에 배정된 과제명을 적은 후 다시 주머니에 집어넣는다. 따라서 주머니에 있는 공의 수는 6개로 유지된다.
● 과제명이 쓰여 있지 않은 공을 뽑았을 때 이미 모든 과제에 학생이 배정되어 있으면, 세 과제 중 하나에 임의로 배정된다.
위의 방식에 따라 4명의 학생이 과제에 배정될 때, 3개의 과제 A, B, C 모두에 학생이 배정될 확률을 구하시오. [20점]
중앙대 2020학년도 수시 자연계열 II 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2020su/jayeon2_1
● 첫 번째 학생은 뽑는 공에 상관없이 무조건 과제 A에 배정된다. 두 번째 학생은 1/2의 확률로 과제 A 또는 B에 배정되고, 세 번째, 네 번째 학생은 앞의 학생의 배정 결과에 따라 각기 다른 확률로 과제에 배정된다. 과제명이 쓰여 있지 않은 공을 뽑았을 때 아직 학생이 배정되지 않은 과제가 있으면, 과제의 우선순위 A>B>C를 고려한다.
● 학생이 배정되는 경우는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
● 이때 3개의 과제 모두에 학생이 배정되려면 과제 C에 최소한 1명이 배정되어야 한다. 이를 만족하는 경우의 수는 다음과 같다.
| 학생1 | 학생2 | 학생3 | 학생4 | |
|---|---|---|---|---|
| Case1 | A | A | B | C |
| Case2 | A | B | A | C |
| Case3 | A | B | B | C |
| Case4 | A | B | C | — |
Case4의 경우 학생4가 공을 뽑기 전에 이미 모든 과제에 최소한 한 명의 학생이 배정이 되었기 때문에 학생4의 과제 배정 여부는 고려할 필요가 없다.
● 네 가지 경우가 발생할 확률은 다음과 같이 계산된다.
| 학생1 | 학생2 | 학생3 | 학생4 | 확률 | |
|---|---|---|---|---|---|
| Case1 | A | A | B | C | |
| Case2 | A | B | A | C | |
| Case3 | A | B | B | C | |
| Case4 | A | B | C | — |
● 따라서 3개의 과제 모두에 학생이 배정될 확률은 다음과 같이 계산된다.
※ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~2점의 부분 점수를 부여함.
※ 각 부분에서 바르게 답안을 작성한 경우에도 답안의 완성도에 따라 총점 20점 이내에서 ±1점 추가 점수 부여 가능함.
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