중앙대 2021학년도 모의 자연계열 2-2번 해설

[문제 2] 다음 제시문 (가) - (라)를 읽고 문제에 답하시오.

(가) 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여

$\displaystyle \int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$ (단, $\displaystyle C$ 는 적분상수)

(나) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 a, b를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $\displaystyle f(x)$ 의 한 부정적분이 $\displaystyle F(x)$ 일 때

$\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$

(다) 모든 실수 $\displaystyle \theta$ 에 대하여 $\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$

(라) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능할 때, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 P $\displaystyle (a,f(a))$ 에서의 접선의 방정식은

$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

[문제 2-2] 닫힌구간 [0,1]에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 다음 식을 만족한다.

$\displaystyle 2f(\cos x)+f(\sin x)=3\sin x\cos x$

곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 에 접하고 기울기가 -1인 접선의 방정식을 구하시오. [15점]

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[문제 2-2]

+6점 · 삼각부등식의 성질을 이용하여

\displaystyle f(\cos x)+2f(\sin x)=3\sin x\cos x

를 얻으면

주어진 식에 $\displaystyle x$ 대신 $\displaystyle \left(\frac\pi2-x\right)$ 를 대입하여 $\displaystyle f(\cos x)+2f(\sin x)=3\sin x\cos x$ 를 얻는다.

+3점 · 연립방정식을 풀어

\displaystyle f(\cos x)=\sin x\cos x

또는

\displaystyle f(\sin x)=\sin x\cos x

를 얻으면

$\displaystyle A=f(\cos x)$ , $\displaystyle B=f(\sin x)$ 로 두고 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 에 대한 연립방정식을 풀어, $\displaystyle A=f(\cos x)=\sin x\cos x$ 를 얻는다.

+3점 ·

\displaystyle f(x)=x\sqrt{1-x^2}

를 얻으면

구간 $\displaystyle [0,1]$ 에서 $\displaystyle \sin x=\sqrt{1-\cos^2x}$ 이므로 $\displaystyle t=\cos x$ 로 두면, $\displaystyle f(t)=t\sqrt{1-t^2}$ , 즉 $\displaystyle f(x)=x\sqrt{1-x^2}$ 이다.

+3점 · 미분을 하여 접선을 구하면

미분을 하여 식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}=-1$ 를 풀어 접선의 접점의 좌표 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt3}2,\frac{\sqrt3}4\right)$ 를 구하고, 접선의 방정식 $\displaystyle y=-x+\frac{3\sqrt3}4$ 을 얻는다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 1~2점의 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 -0.5~+0.5점을 부여할 수 있습니다.

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자연계열 2-2번

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