자연계열 2번

적분함수를 $\displaystyle \frac{1+2e^{-x}}{1+e^x+e^{-x}}=1-\frac{e^x-e^{-x}}{1+e^x+e^{-x}}$로 분해한 후, 제시문 (가)를 이용하여 적분하여 $\displaystyle x-\ln(1+e^x+e^{-x})+C$를 얻는다.

제시문 (나)를 이용하여 정적분을 계산하여 정답 2를 얻는다.

주어진 식에 $\displaystyle x$대신 $\displaystyle \left(\frac\pi2-x\right)$를 대입하여 $\displaystyle f(\cos x)+2f(\sin x)=3\sin x\cos x$를 얻는다.

$\displaystyle A=f(\cos x)$, $\displaystyle B=f(\sin x)$로 두고 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$에 대한 연립방정식을 풀어, $\displaystyle A=f(\cos x)=\sin x\cos x$를 얻는다.

구간 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle \sin x=\sqrt{1-\cos^2x}$이므로 $\displaystyle t=\cos x$로 두면, $\displaystyle f(t)=t\sqrt{1-t^2}$, 즉 $\displaystyle f(x)=x\sqrt{1-x^2}$이다.

미분을 하여 식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}=-1$를 풀어 접선의 접점의 좌표 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt3}2,\frac{\sqrt3}4\right)$를 구하고, 접선의 방정식 $\displaystyle y=-x+\frac{3\sqrt3}4$을 얻는다.