중앙대 2021학년도 수시 자연계열 I 3-2번 해설

[문제 3] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 미분가능한 두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$\displaystyle \int f(x)g^{\prime}(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime}(x)g(x)\,dx$

● 두 함수 $\displaystyle y=f(u)$ , $\displaystyle u=g(x)$ 가 각각 $\displaystyle u$ , $\displaystyle x$ 에 대하여 미분가능하면, 합성함수 $\displaystyle y=f(g(x))$ 도 $\displaystyle x$ 에 대하여 미분가능하고, 그 도함수는 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$ 이다.

● $\displaystyle x$ 의 함수 $\displaystyle y$ 가 음함수 $\displaystyle f(x,y)=0$ 의 꼴로 주어졌을 때, $\displaystyle y$ 를 $\displaystyle x$ 의 함수로 보고 각 항을 $\displaystyle x$ 에 대하여 미분한 후 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 를 구한다.

[문제 3-2] 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 $\displaystyle t$ 에서의 좌표는 $\displaystyle (\cos t,\sin t)$ 이다. 여기서 $\displaystyle t$ 의 범위는 $\displaystyle 0\le t\le\frac\pi4$ 이다. 제1사분면에 속한 점 Q는 곡선 $\displaystyle y=(x+1)(x-1)^2$ 위에 있고, 점 P와 거리를 $\displaystyle 2\sqrt2$ 로 유지하며 연속적으로 움직인다. 점 Q가 $\displaystyle (2,3)$ 을 지날 때, 점 Q의 속도 $\displaystyle \left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)$ 를 구하시오. [15점]

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[문제 3-2]

+5점 ·

\displaystyle x\frac{dx}{dt}-\frac{dx}{dt}\cos t+x\sin t+y\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}-\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\sin t-y\cos t=0

을 구하면

$\displaystyle (x-\cos t)^2+(y-\sin t)^2=8$ 이다. $\displaystyle t$ 에 대하여 음함수, 합성함수 미분하면

$\displaystyle x\frac{dx}{dt}-\frac{dx}{dt}\cos t+x\sin t+y\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}-\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\sin t-y\cos t=0\qquad(1)$

을 얻는다. $\displaystyle \frac{dy}{dx}=(x-1)^2+2(x-1)(x+1)=3x^2-2x-1$ 이고, $\displaystyle x=2$ 일 때 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=7$ 이다.

+5점 · Q

\displaystyle =(2,3)

에 대응되는 P

\displaystyle =\left(\frac{12}{13},\frac5{13}\right)

를 구하면

Q $\displaystyle =(2,3)$ 에 대응되는 P를 구하기 위하여

$\displaystyle (\cos t-2)^2+(\sin t-3)^2=8$

+5점 ·

\displaystyle x=2

일 때

\displaystyle \frac{dy}{dx}=7

등을 감안하여

\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{13}{126}

,

\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{91}{126}

구하면

을 풀면 $\displaystyle 2\cos t+3\sin t=3$ 이고 제곱하여 $\displaystyle 4\cos^2t=9(1-\sin t)^2$ 의 근을 구하면 $\displaystyle \sin t=\frac5{13}$ , 1이다. $\displaystyle 0\le t\le\frac\pi4$ 이므로 대응되는 P는 $\displaystyle \left(\frac{12}{13},\frac5{13}\right)$ 이다. 식 (1)에 대입하면 $\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{13}{126}$ , $\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{91}{126}$ 이다.

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자연계열 I 3-2번

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