수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 I 3번

중앙대 2021학년도 수시 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/cau/2021su/jayeon1_3

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중앙대 2021학년도 수시 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/cau/2021su/jayeon1_3

[문제 3-1]

+3점 · [(2x−sin⁡2x)eF(x)]0π−∫0π(2−2cos⁡2x)eF(x) dx\displaystyle \Biggl[(2x-\sin2x)e^{F(x)}\Biggr]_0^\pi-\int_0^\pi(2-2\cos2x)e^{F(x)}\,dx 하면 +3점 · sin⁡2x dx=12−12cos⁡2x\displaystyle \sin^2x\,dx=\frac12-\frac12\cos2x 이용하여 2πeF(π)−4eF(π)+4\displaystyle 2\pi e^{F(\pi)}-4e^{F(\pi)}+4 구하면

Correction. [3-1] 대학 답안과 채점기준의 삼각함수 항등식에 붙은 dx\displaystyle dx는 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

문제에 주어진 식 sin⁡2x dx=1−cos⁡2x2\displaystyle \sin^2x\,dx=\frac{1-\cos2x}2과 부분적분을 이용하면 적분을 다음과 같이 정리할 수 있다.Correction. [3-1] 대학 답안과 채점기준의 삼각함수 항등식에 붙은 dx\displaystyle dx는 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[(2x−sin⁡2x)eF(x)]0π−∫0π(2−2cos⁡2x)eF(x) dx=2πeF(π)−∫0πeF(x)4sin⁡2x dx=2πeF(π)−[4eF(x)]0π=2πeF(π)−4eF(π)+4\displaystyle \begin{aligned}&\Biggl[(2x-\sin2x)e^{F(x)}\Biggr]_0^\pi-\int_0^\pi(2-2\cos2x)e^{F(x)}\,dx\\&\qquad=2\pi e^{F(\pi)}-\int_0^\pi e^{F(x)}4\sin^2x\,dx\\&\qquad=2\pi e^{F(\pi)}-\Biggl[4e^{F(x)}\Biggr]_0^\pi=2\pi e^{F(\pi)}-4e^{F(\pi)}+4\end{aligned}

+4점 · ∫0πsin⁡2x dx=π2\displaystyle \int_0^\pi\sin^2x\,dx=\frac\pi2 계산해서 정답 (2π−4)eπ2+4\displaystyle (2\pi-4)e^{\frac\pi2}+4 구하면

이다. F(π)=∫0πsin⁡2x dx=[12x−14sin⁡2x]0π=π2\displaystyle F(\pi)=\int_0^\pi\sin^2x\,dx=\Biggl[\frac12x-\frac14\sin2x\Biggr]_0^\pi=\frac\pi2를 대입하여 정답 (2π−4)eπ2+4\displaystyle (2\pi-4)e^{\frac\pi2}+4을 얻는다.

[문제 3-2]

+5점 · xdxdt−dxdtcos⁡t+xsin⁡t+ydydxdxdt−dydxdxdtsin⁡t−ycos⁡t=0\displaystyle x\frac{dx}{dt}-\frac{dx}{dt}\cos t+x\sin t+y\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}-\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\sin t-y\cos t=0을 구하면

(x−cos⁡t)2+(y−sin⁡t)2=8\displaystyle (x-\cos t)^2+(y-\sin t)^2=8이다. t\displaystyle t에 대하여 음함수, 합성함수 미분하면

xdxdt−dxdtcos⁡t+xsin⁡t+ydydxdxdt−dydxdxdtsin⁡t−ycos⁡t=0(1)\displaystyle x\frac{dx}{dt}-\frac{dx}{dt}\cos t+x\sin t+y\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}-\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\sin t-y\cos t=0\qquad(1)

을 얻는다. dydx=(x−1)2+2(x−1)(x+1)=3x2−2x−1\displaystyle \frac{dy}{dx}=(x-1)^2+2(x-1)(x+1)=3x^2-2x-1이고, x=2\displaystyle x=2일 때 dydx=7\displaystyle \frac{dy}{dx}=7이다.

+5점 · Q=(2,3)\displaystyle =(2,3)에 대응되는 P=(1213,513)\displaystyle =\left(\frac{12}{13},\frac5{13}\right)를 구하면

Q=(2,3)\displaystyle =(2,3)에 대응되는 P를 구하기 위하여

(cos⁡t−2)2+(sin⁡t−3)2=8\displaystyle (\cos t-2)^2+(\sin t-3)^2=8

+5점 · x=2\displaystyle x=2일 때 dydx=7\displaystyle \frac{dy}{dx}=7 등을 감안하여 dxdt=13126\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{13}{126}, dydt=91126\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{91}{126} 구하면

을 풀면 2cos⁡t+3sin⁡t=3\displaystyle 2\cos t+3\sin t=3이고 제곱하여 4cos⁡2t=9(1−sin⁡t)2\displaystyle 4\cos^2t=9(1-\sin t)^2의 근을 구하면 sin⁡t=513\displaystyle \sin t=\frac5{13}, 1이다. 0≤t≤π4\displaystyle 0\le t\le\frac\pi4이므로 대응되는 P는 (1213,513)\displaystyle \left(\frac{12}{13},\frac5{13}\right)이다. 식 (1)에 대입하면 dxdt=13126\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{13}{126}, dydt=dydxdxdt=91126\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{91}{126}이다.

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