수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 II 2-1번

중앙대 2021학년도 수시 자연계열 II 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2021su/jayeon2_2_1

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문제

[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 실수 a,b\displaystyle a,b에 대하여 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4\displaystyle (a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4이 성립한다.

● 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}, {bn}\displaystyle \{b_n\}이 수렴하고 lim⁡n→∞an=α\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha, lim⁡n→∞bn=β\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\beta일 때, 다음 식이 성립한다.

lim⁡n→∞anbn=(lim⁡n→∞an)(lim⁡n→∞bn)=αβ,lim⁡n→∞anbn=lim⁡n→∞anlim⁡n→∞bn=αβ(단, β≠0)\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_nb_n=\left(\lim_{n\to\infty}a_n\right)\left(\lim_{n\to\infty}b_n\right)=\alpha\beta,\quad\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim_{n\to\infty}a_n}{\lim_{n\to\infty}b_n}=\frac\alpha\beta\quad(\text{단, }\beta\ne0)

● 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속인 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 한 부정적분을 F(x)\displaystyle F(x)라 할 때, 다음 식이 성립한다.

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)

● 미분가능한 함수 g(t)\displaystyle g(t)에 대하여 x=g(t)\displaystyle x=g(t)로 놓으면, 다음 식이 성립한다.

∫f(x) dx=∫f(g(t))g′(t) dt\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt

[문제 2-1] 다음 극한값을 구하시오. [10점]

lim⁡n→∞(n+1)4+(n+2)4+(n+3)4+(n+4)4+⋯+(n+n)4(n+1)4+(n+2)4+(n+3)4+(n+4)4+⋯+(2n)4\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt n+1)^4+(\sqrt n+2)^4+(\sqrt n+3)^4+(\sqrt n+4)^4+\cdots+(\sqrt n+n)^4}{(n+1)^4+(n+2)^4+(n+3)^4+(n+4)^4+\cdots+(2n)^4}

해설강의 준비중

중앙대 2021학년도 수시 자연계열 II 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2021su/jayeon2_2_1

[문제 2-1]

+4점 · 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 활용하여 극한을 정리하면

우선 문제에 주어진 식을 다음과 같이 정리한다.

lim⁡n→∞∑k=1n(k+n)4∑k=1n(n+k)4=lim⁡n→∞1n5∑k=1n(k+n)4lim⁡n→∞1n5∑k=1n(n+k)4\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^n(k+\sqrt n)^4}{\sum_{k=1}^n(n+k)^4}=\frac{\lim_{n\to\infty}\frac1{n^5}\sum_{k=1}^n(k+\sqrt n)^4}{\lim_{n\to\infty}\frac1{n^5}\sum_{k=1}^n(n+k)^4}

분모는 정적분과 급수의 합과의 관계를 이용하여

lim⁡n→∞1n5∑k=1n(n+k)4=lim⁡n→∞1n∑k=1n(1+kn)4=∫01(1+x)4 dx=315\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{n^5}\sum_{k=1}^n(n+k)^4=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\left(1+\frac kn\right)^4=\int_0^1(1+x)^4\,dx=\frac{31}5

+6점 · 정적분을 계산하고 각 항들의 극한값 구하여 정답 131\displaystyle \frac1{31}를 얻으면

를 얻는다. 분자는 다음과 같이 식을 정리한 후

∑k=1n(k+n)4=∑k=1nk4+4n∑k=1nk3+6n∑k=1nk2+4nn∑k=1nk+n2\displaystyle \sum_{k=1}^n(k+\sqrt n)^4=\sum_{k=1}^nk^4+4\sqrt n\sum_{k=1}^nk^3+6n\sum_{k=1}^nk^2+4n\sqrt n\sum_{k=1}^nk+n^2

거듭제곱의 합공식을 적용한다.

∑k=1n(k+n)4=∑k=1nk4+4n(n(n+1)2)2+6nn(n+1)(2n+1)6+4nnn(n+1)2+n2\displaystyle \sum_{k=1}^n(k+\sqrt n)^4=\sum_{k=1}^nk^4+4\sqrt n\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2+6n\frac{n(n+1)(2n+1)}6+4n\sqrt n\frac{n(n+1)}2+n^2

그리고 정적분과 급수의 합의 관계를 이용하여 극한을 취한다.

lim⁡n→∞1n5∑k=1n(k+n)4=lim⁡n→∞1n∑k=1n(kn)4+0=∫01x4 dx=15\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{n^5}\sum_{k=1}^n(k+\sqrt n)^4=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\left(\frac kn\right)^4+0=\int_0^1x^4\,dx=\frac15

마지막으로 분자의 극한을 분모의 극한으로 나누어 정답 131\displaystyle \frac1{31}을 얻는다.

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