자연계열 II 2번

[문제 2-1]

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^n(k+\sqrt n)^4}{\sum_{k=1}^n(n+k)^4}=\frac{\lim_{n\to\infty}\frac1{n^5}\sum_{k=1}^n(k+\sqrt n)^4}{\lim_{n\to\infty}\frac1{n^5}\sum_{k=1}^n(n+k)^4}$

분모는 정적분과 급수의 합과의 관계를 이용하여

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{n^5}\sum_{k=1}^n(n+k)^4=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\left(1+\frac kn\right)^4=\int_0^1(1+x)^4\,dx=\frac{31}5$

$\displaystyle \sum_{k=1}^n(k+\sqrt n)^4=\sum_{k=1}^nk^4+4\sqrt n\sum_{k=1}^nk^3+6n\sum_{k=1}^nk^2+4n\sqrt n\sum_{k=1}^nk+n^2$

거듭제곱의 합공식을 적용한다.

$\displaystyle \sum_{k=1}^n(k+\sqrt n)^4=\sum_{k=1}^nk^4+4\sqrt n\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2+6n\frac{n(n+1)(2n+1)}6+4n\sqrt n\frac{n(n+1)}2+n^2$

그리고 정적분과 급수의 합의 관계를 이용하여 극한을 취한다.

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{n^5}\sum_{k=1}^n(k+\sqrt n)^4=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\left(\frac kn\right)^4+0=\int_0^1x^4\,dx=\frac15$

마지막으로 분자의 극한을 분모의 극한으로 나누어 정답 $\displaystyle \frac1{31}$을 얻는다.

[문제 2-2]

$\displaystyle 2f(x)^2+f(20-x)^2=-x^2+20x$

를 얻는다. 위 식의 양변에 2를 곱하여

$\displaystyle 4f(x)^2+2f(20-x)^2=-2x^2+40x$

를 얻는다. 그리고 첫 번째 식에 $\displaystyle x$대신 $\displaystyle 20-x$를 대입하여

$\displaystyle 2f(20-x)^2+f(x)^2=-(20-x)^2+20(20-x)=-x^2+20x$

$\displaystyle 3f(x)^2=-x^2+20x=100-(x-10)^2$

를 얻을 수 있는데, 따라서

$\displaystyle f(x)=\frac1{\sqrt3}\sqrt{100-(x-10)^2}$

$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{10}xf(x)\,dx&=\frac1{\sqrt3}\int_0^{10}x\sqrt{100-(x-10)^2}\,dx\\&=\frac{1000}{\sqrt3}\int_{-1}^0(u+1)\sqrt{1-u^2}\,du\\&=\frac{1000}{\sqrt3}\left(\int_{-1}^0\sqrt{1-u^2}\,du+\int_{-1}^0u\sqrt{1-u^2}\,du\right)\\&=\frac{1000}{\sqrt3}\left(\frac\pi4-\frac13\right)\end{aligned}$