자연계열 III 1번

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중앙대 2021학년도 수시 자연계열 III 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2021su/jayeon3_1

[문제 1] 주사위를 네 번 던지는 실험을 할 때, 처음으로 6의 눈이 나올 때까지 던졌던 횟수를 확률변수 $\displaystyle X$ 로 정의한다. 만약 네 번 던지는 동안 6의 눈이 나오지 않는 경우는, $\displaystyle X=5$ 로 정의한다. 예를 들어, 주사위의 눈이 순서대로 4, 1, 6, 2로 나오면 $\displaystyle X=3$ 이 된다. 주사위를 두 번째 던졌을 때 처음으로 5의 눈이 나왔다고 하자. 이때 $\displaystyle X$ 의 기댓값을 구하시오. [20점]

해설강의 준비중

중앙대 2021학년도 수시 자연계열 III 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2021su/jayeon3_1

+16점 · 확률변수

\displaystyle X

의 확률분포를 바르게 계산한 경우 (

\displaystyle X=1,3,4,5

의 각 확률값을 바르게 계산한 경우, 각각 4점씩)

주사위를 두 번째 던졌을 때 처음으로 5의 눈이었을 때, $\displaystyle X$ 의 확률분포는 아래와 같다.

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c}\text{확률변수 }X&1&3&4&5&\text{계}\\\hline\text{확률}&\frac15&\left(\frac45\right)\left(\frac16\right)&\left(\frac45\right)\left(\frac56\right)\left(\frac16\right)&\left(\frac45\right)\left(\frac56\right)\left(\frac56\right)&1\end{array}$

$\displaystyle \Downarrow$

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c}\text{보조계산1}&\frac15&\frac4{30}=\frac2{15}&\frac{20}{180}=\frac19&\frac{100}{180}=\frac59&1\\\hline\text{보조계산2}&\frac{36}{180}&\frac{24}{180}&\frac{20}{180}&\frac{100}{180}&1\end{array}$

+4점 ·

\displaystyle X

의 기댓값을

\displaystyle X

가 가지는 값과 확률을 곱하고 더하여 바르게 계산한 경우 (계산결과가 틀렸어도 기댓값의 구조를 정확하게 이해하고 있는 경우: +2점)

따라서, $\displaystyle X$ 의 기댓값

$\displaystyle \begin{aligned}&=1\left(\frac15\right)+3\left(\frac2{15}\right)+4\left(\frac19\right)+5\left(\frac59\right).\\&=\frac15+\frac25+\frac49+\frac{25}9\\&=\frac{9+18+20+125}{45}\\&=\frac{172}{45}\end{aligned}$

※ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~2점의 부분 점수를 부여함.

※ 각 부분에서 바르게 답안을 작성한 경우에도 답안의 완성도에 따라 총점 20점 이내에서 ±1점 추가 점수 부여 가능함.

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