자연계열 I 2-2번

중앙대 2022학년도 수시 자연계열 I 2-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2022su/jayeon1_2_2

[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 미분가능한 두 함수 $\displaystyle y=f(u)$ , $\displaystyle u=g(x)$ 에 대하여 합성함수 $\displaystyle y=f(g(x))$ 의 도함수는 $\displaystyle \{f(g(x))\}^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$ 이다.

● 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}(a_1,a_2)$ , $\displaystyle \mathrm{B}(b_1,b_2)$ 에 대하여 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 는 $\displaystyle (b_1-a_1,b_2-a_2)$ 로 주어진다.

● 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능하고 $\displaystyle x=a$ 에서 극값을 가지면 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이다. 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이고, $\displaystyle x=a$ 의 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극대이다.

[문제 2-2] 좌표평면 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x,y)$ 가 다음의 조건을 만족하면서 연속적으로 움직인다고 하자.

(가) 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x,y)$ 는 시각 $\displaystyle t=0$ 일 때, $\displaystyle (\sqrt2,0)$ 에서 출발하여 타원 $\displaystyle x^2+2y^2=2$ 를 따라 반시계방향으로 움직이기 시작한다.

(나) 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x,y)$ 는 시각 $\displaystyle t\;(t\ge0)$ 일 때, 타원 $\displaystyle x^2+2y^2=2$ 의 두 초점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 와 $\displaystyle \mathrm{B}$ 에 대하여 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\frac{2+t^2}{2(1+t+t^2)}$ 을 만족한다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{PAB}$ 의 넓이를 $\displaystyle S$ 라 할 때, $\displaystyle S^2$ 의 최댓값을 구하시오. [15점]

해설강의 준비중

중앙대 2022학년도 수시 자연계열 I 2-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2022su/jayeon1_2_2

[문제 2-2]

+3점 · 내적 정의와 조건 (나)를 이용하여 관계식

\displaystyle \frac{2+t^2}{2(1+t+t^2)}=-1+x^2+y^2

를 얻으면

조건 (나)로부터 $\displaystyle \frac{2+t^2}{2(1+t+t^2)}=\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}=(-1-x,-y)\cdot(1-x,-y)=-1+x^2+y^2$ 을 얻은 후,

+3점 · 조건 (가)를 이용하여

\displaystyle \{y(t)\}^2=\frac{2t+t^2}{2(1+t+t^2)}

를 얻으면

(가)의 타원 방정식을 대입하여 $\displaystyle \frac{2+t^2}{2(1+t+t^2)}=-1+(2-2y^2)+y^2=1-y^2\Rightarrow\{y(t)\}^2=\frac{2t+t^2}{2(1+t+t^2)}$ 를 구한다. 이때 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PAB}$ 의 넓이는 $\displaystyle y(t)$ 이므로 $\displaystyle \{y(t)\}^2$ 의 최댓값을 구하면 된다.

+3점 ·

\displaystyle \{y(t)\}^2

를 도함수

\displaystyle \{y(t)^2\}^{\prime}=\frac{2+2t-t^2}{2(1+t+t^2)^2}

를 얻으면

$\displaystyle \{y(t)\}^2$ 의 최댓값을 구하기 위하여 $\displaystyle \{y(t)\}^2$ 의 미분을 계산하면 $\displaystyle \{y(t)^2\}^{\prime}=\frac{2+2t-t^2}{2(1+t+t^2)^2}$ 이므로,

+6점 · 극대, 극소를 판정하여 최종적으로 정답

\displaystyle \frac{3+2\sqrt3}{6+3\sqrt3}=\frac1{\sqrt3}

을 얻으면

$\displaystyle t=1+\sqrt3$ 일 때 $\displaystyle \{y(t)\}^2$ 의 최댓값 $\displaystyle \{y(1+\sqrt3)\}^2=\frac{3+2\sqrt3}{6+3\sqrt3}=\frac1{\sqrt3}$ 을 갖는다는 것을 알 수 있다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 1~2점의 부분 점수를 부여할 수 있음.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 –0.5~+0.5점을 부여할 수 있음.

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