자연계열 I 2번

주어진 식으로부터 $\displaystyle x$의 범위 $\displaystyle \frac12\le x\le1$을 얻는다.

그리고 합성함수 $\displaystyle y=\frac83(1-\sqrt{x})^{\frac32}$를 미분하여 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{2(1-\sqrt{x})^{\frac12}}{\sqrt{x}}$을 얻는다. (또는 음함수 미분법을 이용하여 동일한 결과를 얻을 수 있다.)

마지막으로 다음과 같이 적분을 계산하여 해당 곡선의 길이를 구한다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_{\frac12}^1\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx&=\int_{\frac12}^1\sqrt{1+\frac{4(1-\sqrt{x})}{x}}dx=\int_{\frac12}^1\sqrt{\left(1-\frac2{\sqrt{x}}\right)^2}dx\\&=\int_{\frac12}^1\left(\frac2{\sqrt{x}}-1\right)dx=\frac72-2\sqrt2\end{aligned}$

조건 (나)로부터$\displaystyle \frac{2+t^2}{2(1+t+t^2)}=\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}=(-1-x,-y)\cdot(1-x,-y)=-1+x^2+y^2$을 얻은 후,

(가)의 타원 방정식을 대입하여$\displaystyle \frac{2+t^2}{2(1+t+t^2)}=-1+(2-2y^2)+y^2=1-y^2\Rightarrow\{y(t)\}^2=\frac{2t+t^2}{2(1+t+t^2)}$를 구한다. 이때 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PAB}$의 넓이는 $\displaystyle y(t)$이므로 $\displaystyle \{y(t)\}^2$의 최댓값을 구하면 된다.

$\displaystyle \{y(t)\}^2$의 최댓값을 구하기 위하여 $\displaystyle \{y(t)\}^2$의 미분을 계산하면 $\displaystyle \{y(t)^2\}^{\prime}=\frac{2+2t-t^2}{2(1+t+t^2)^2}$이므로,

$\displaystyle t=1+\sqrt3$일 때 $\displaystyle \{y(t)\}^2$의 최댓값 $\displaystyle \{y(1+\sqrt3)\}^2=\frac{3+2\sqrt3}{6+3\sqrt3}=\frac1{\sqrt3}$을 갖는다는 것을 알 수 있다.