자연계열 I 3-1번

중앙대 2022학년도 수시 자연계열 I 3-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2022su/jayeon1_3_1

[문제 3] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이면 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 이 닫힌구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다.

● 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 의 도함수가 연속일 때 다음 식이 성립한다. $\displaystyle \int_a^b f(x)g^{\prime}(x)dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^b f^{\prime}(x)g(x)dx$

● 미분가능한 함수 $\displaystyle g(t)$ 에 대하여 $\displaystyle x=g(t)$ 로 놓으면 $\displaystyle \int f(x)dx=\int f(g(t))g^{\prime}(t)dt$ 이다.

[문제 3-1] 좌표평면 위의 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}(a,0)$ , $\displaystyle \mathrm{B}(b,b^2+1)$ 과 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$ 가 이루는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$ 의 넓이가 4라고 하자. 이때 $\displaystyle 20(2a+b^2)-(2a+b^2)^2$ 의 최댓값 $\displaystyle M$ 과 최솟값 $\displaystyle m$ 을 각각 구하시오. (단, $\displaystyle a\ge1$ 이다.) [10점]

해설강의 준비중

중앙대 2022학년도 수시 자연계열 I 3-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2022su/jayeon1_3_1

[문제 3-1]

+4점 ·

\displaystyle a(b^2+1)=8

와

\displaystyle 1\le a\le8

보이면

넓이 조건에서 $\displaystyle a(b^2+1)=8$ 이 나온다. $\displaystyle 1+b^2\ge1$ 이므로 $\displaystyle a\le8$ 이고 범위 $\displaystyle 1\le a\le8$ 를 얻을 수 있다.

+4점 ·

\displaystyle 7\le2a+b^2\le16

보이면

$\displaystyle a(b^2+1)=8$ 를 대입하면 $\displaystyle 2a+b^2=2a+\frac8a-1=f(a)$ 이 되고 미분하여 $\displaystyle a=2$ 에서 최솟값 $\displaystyle f(2)=7$ 을 갖고 $\displaystyle f(1)=9$ , $\displaystyle f(8)=16$ 이므로 $\displaystyle 7\le2a+b^2\le16$ 이다.

+2점 ·

\displaystyle M=100

\displaystyle m=64

보이면

이 구간에 대하여 $\displaystyle 20(2a+b^2)-(2a+b^2)^2$ 은 $\displaystyle 2a+b^2=10$ 에서 최댓값 $\displaystyle M=100$ 을 가지고 $\displaystyle 2a+b^2=16$ 에서 최솟값 $\displaystyle m=64$ 을 갖는다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 1~2점의 부분 점수를 부여할 수 있음.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 –0.5~+0.5점을 부여할 수 있음.

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