자연계열 I 3번

넓이 조건에서 $\displaystyle a(b^2+1)=8$이 나온다. $\displaystyle 1+b^2\ge1$이므로 $\displaystyle a\le8$이고 범위 $\displaystyle 1\le a\le8$를 얻을 수 있다.

$\displaystyle a(b^2+1)=8$를 대입하면 $\displaystyle 2a+b^2=2a+\frac8a-1=f(a)$이 되고 미분하여 $\displaystyle a=2$에서 최솟값 $\displaystyle f(2)=7$을 갖고 $\displaystyle f(1)=9$, $\displaystyle f(8)=16$이므로 $\displaystyle 7\le2a+b^2\le16$이다.

이 구간에 대하여 $\displaystyle 20(2a+b^2)-(2a+b^2)^2$은 $\displaystyle 2a+b^2=10$에서 최댓값 $\displaystyle M=100$을 가지고 $\displaystyle 2a+b^2=16$에서 최솟값 $\displaystyle m=64$을 갖는다.

조건 (가)에서 주어진 식을 $\displaystyle (1+\sin x)^2$로 나누고 이차방정식을 풀어서 정리하면 $\displaystyle \frac{\cos x}{1+\sin x}f(x)=1\pm\sin x$이고 조건 (나)를 만족시키는 연속함수는 다음과 같다.$\displaystyle \cos x f(x)=(1+\sin x)^2$ (*)

$\displaystyle f^{\prime}(x)\cos x-f(x)\sin x=(f(x)\cos x)^{\prime}$을 고려하고 (*)을 쓰면 $\displaystyle (f(x)\cos x)^{\prime}=((1+\sin x)^2)^{\prime}=2(1+\sin x)\cos x$이므로$\displaystyle \int_0^{\frac\pi6}(f^{\prime}(x)\cos x-f(x)\sin x)e^{\sin x}dx=\int_0^{\frac\pi6}2(\sin x+1)\cos x\,e^{\sin x}dx$이고 $\displaystyle \sin x=t$로 치환적분하면 $\displaystyle \int_0^{\frac12}2(t+1)e^t dt$이 되고 부분적분하면 $\displaystyle \sqrt e$가 된다.